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\begin{document}\Century{1100}

\setlength {\parindent} {1em}

\Capitolo {6. Funzioni di matrici ed esponenziale matriciale}

%
\Situazione {Sia $A \in \CC_{n}^{n}$ e sia $\sigma (A)$ lo spettro di $A$, cio\eacc l'insieme dei suoi autovalori.

Come sempre, per un anello commutativo $K$ denotiamo con $K_m^n$ l'insieme delle matrici ad $n$ righe ed $m$ colonne con coefficienti in $K$. $\delta$ sia la matrice identitica in $K_n^n$.}

\Definizione {Per un polinomio $ f = a_{0}+a_{1}x+...+a_{r}x^{r} \in \CC[x]$\\ definiamo $\displaystyle f(A):=\sum_{k=0}^{r} a_{k} A^{k}.$ Naturalmente $A^0 := \delta$.}

\Osservazione {Sia $\phi=\Frac{f}{g}$ con f, g $\in \CC[x]$ una funzione razionale per cui $g(\lambda) \neq 0$ per ogni $\lambda \in \sigma(A)$.

Allora la matrice $\phi(A) := (g(A))^{-1} f(A)$ risulta ben definita.}

\Dimostrazione {La matrice $\phi(A)$ \eacc ben definita in quanto sono ben definite $f(A)$ e $g(A)$, secondo la definizione precedente, ed \eacc possibile invertire $g(A)$ in quanto si \eacc supposto $g(\lambda) \neq 0$ per ogni $\lambda \in \sigma(A)$.} 

\Osservazione {Siano $\Omega$ un dominio di $\CC$ ed $f:\Omega \rightarrow \CC$ una funzione analitica. $\Gamma$ sia una curva di Jordan in $\Omega$ che contiene $\sigma(A)$ al suo interno. Allora si pu\oacc definire\m
 
$\displaystyle f(A):= \Frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} f(z)(z \delta -A)^{-1} \, dz$

\NI Si pu\oacc dimostrare che questa matrice \eacc ben definita e non dipende\\ da $\Gamma$.
Per i coefficienti essa significa\m

$\displaystyle (f(A))_{k}^{j}:= \Frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} f(z)((z \delta -A)^{-1})_{k}^{j} \, dz$

\NI per ogni j,k.

Se $z_{0}$ \eacc un punto di $\Omega$ in cui $f$ \eacc rappresentata dalla serie di potenze $\displaystyle f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (z - z_0)^{k}$, si pu\oacc dimostrare che $\displaystyle f(A)= \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (A- z_0 \delta)^{k}$.}

\Definizione {L'esponenziale\m

$\displaystyle e^{A} := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^{k}$\\

\NI \eacc definito per ogni $A \in \CC_{n}^{n}$.


Nel teorema 6.6 riportiamo alcuni utili enunciati sulle propriet\aacc dell'esponenziale di una matrice.}


\Teorema{

\lista {\item[1] Per ogni $T \in GL(n, \CC)$ si ha $e^{{{T}^{-1}} A T}= T^{-1} e^{A} T.$

 \item[2] Sia $ B \in \CC_{n}^{n}$ e $A B=B A$. Allora $e^{A +B}= e^{A} e^B = e^B e^A.$

\item[3]  $(e^A)^{-1} = e^{-A}$, quindi $e^A$ \eacc sempre una matrice invertibile.

\item[4] Se $\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}$ sono gli autovalori di $A$, allora $e^{\lambda_{1}}, ..., e^{\lambda_{n}}$ sono gli autovalori di $e^A$. La moltiplicit\aacc degli autovalori di $A$ \eacc maggiore o uguale a quella di $e^A$, in quanto pu\oacc accadere che $\lambda_{j} \neq \lambda_{k}$, ma $e^{\lambda_{j}}=e^{\lambda_{k}}$.

\item[5] $\det(e^A) = e^{tr A}$. }}


\Dimostrazione {Huppert, pagg. 269-283, Arnold, pagg. 115 sgg., Amann, pagg. 167-183.}


\Nota {L'equazione differenziale $\dot{x}=A x$ (in cui si cerca una funzione $x: \RR \rightarrow \CC^{n}$)  per ogni dato iniziale $x(0)=x_{0}$ ammette un'unica soluzione $x=\Fun_{t} e^{tA} x_{0}$.
 
Ci\oacc implica l'enunciato analogo per l'equazione differenziale matriciale $\dot{X} = A X$, in cui si cerca una funzione $X: \RR \rightarrow \CC_{n}^{n}$. Per ogni $k$ infatti, questa corrisponde a un'equazione $\dot{X_{k}} = A X_{k}$ con soluzione $X_{k} = \Fun_{t} e^{t A} X_{k}(0)$ e ci\oacc significa proprio che $X= \Fun_{t} e^{t A} X(0)$.\\
In particolare, l'unica soluzione del problema \m

$\dot{X}= A X$ \quad con  $\quad X(0) = \delta$ \quad \eacc  $ \quad X=e^{t A }.$
}

\Definizione { Per $\lambda \in \CC$ ed $m \in \NN + 1 $ definiamo le \C{caselle di Jordan} $J_m(\lambda) \in \CC_m^m$ nel modo seguente:\m

$\begin{aligned}
J_1(\lambda) &:= (\lambda) \\
J_2(\lambda) &:= \Matrice{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda} \\
J_3(\lambda) &:= \Matrice{\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda} \\
& \ldots\\
J_m(\lambda) &:= \Matrice{ \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 &  \ldots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda}
\end{aligned}$\m

Se poniamo $N_m := J_m(0)$, abbiamo $J_m(\lambda) = \lambda \delta + N_m$.}


\Osservazione{ $N \in \CC_n^n$ sia una matrice nilpotente, cio\eacc tale che esiste $r \in \NN$ con $N^r =0$. Allora la matrice $\delta - N $ \eacc invertibile e si ha \m

$(\delta - N)^{-1} = \displaystyle \sum_{k=0}^{r-1} N^k$.}

\Dimostrazione{[36]}

\Proposizione{Siano $z, \lambda \in \CC$ ed $m \geq 1$. Se $z \neq \lambda$, allora\m

$(z \delta - J_m(\lambda))^{-1} = ((z - \lambda )\delta - N_m)^{-1} = \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \Frac{N_m^k}{(z - \lambda)^{k+1}}$.}

\Dimostrazione{[37]}

\Proposizione{ Siano $\lambda \in \CC$ ed $\Omega$ un dominio di $\CC$ con $\lambda \in \CC$. $f: \Omega \Rightarrow \CC$ sia una funzione analitica e $\Gamma$ una curva di Jordan in $\Omega$ che contiene $\lambda$ al suo interno. Allora\m

$\begin{aligned}
f(J_m(\lambda)) &= \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \Frac{f^{(k)}(\lambda)}{k!} N_m^k=\\
&= \Matrice { f(\lambda) & f'(\lambda) & \Frac{f''(\lambda)}{2!} & \ldots & \Frac{f^{(m-1)}(\lambda)}{(m-1)!} \\[2ex]  0 & f(\lambda) & f'(\lambda) & \ldots & \Frac{f^{(m-2)}(\lambda)}{(m-2)!} \\[2ex] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\[2ex] 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda)}
\end{aligned}$}

\Dimostrazione{[38]}

\Definizione{ Siano $M_1, \ldots, M_s$ matrici quadratiche, non necessariamente della stessa dimensione. Allora con $M_1 \bigoplus \ldots \bigoplus M_s$ denotiamo la matrice\m

$M= \Matrice{ M_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & M_2 & \ldots & 0 \\ 0 & \ldots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & \ldots & M_s}$\m

\NI Diciamo allora che $ M$ \eacc \C{somma diretta} delle matrici $M_j$.}

\Teorema [Teorema della forma normale di Jordan]{ Esiste $T \in GL(n, \CC)$ tale che $A= T^{-1} M T$, dove $M$ \eacc somma diretta di caselle di Jordan.}

\Dimostrazione{MANCA?}

\Osservazione {Sia $f$ come nella osservazione 6.4 e $T \in GL(n, \CC)$, allora $\quad f(T^{-1} A T) = f(A)$.

Perci\oacc in principio si pu\oacc usare la proposizione 6.11 per calcolare $f(A)$, ma la forma normale di Jordan presenta difficolt\aacc algoritmiche e numeriche. }

\Dimostrazione{[39]}



 
\end{document}