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\begin{document}\Century{1100}

\setlength {\parindent} {1em}

\Capitolo {7. Il polinomio minimale di una matrice}

\Situazione {Sia $A \in \CC_{n}^{n}$.}

\Lemma { $U$ sia un'algebra su $\CC$ con elemento neutro $1_{U}$.

Per $f= a_0 x^n + a_1 x^{n+1} + \dots + a_n \in \CC[x]$ ed $u \in U$ poniamo\m

$f(u):= a_0 u^n + a_1 u^{n+1} + \dots + a_n 1_U$.\m

\NI Allora per ogni $u \in U$, l'applicazione $ \Fun_f f(u) : \CC[x] \rightarrow U$ \eacc un omomorfismo di $\CC$-algebre. 

Abbiamo quindi $f(1)=1_U$ e, per $ f, g \in \CC[x]$ e $\alpha \in \CC$, le relazioni\m

$\begin{aligned}
(f+g)(u) &= f(u) + g(u)\\
(\alpha f)(u) &= \alpha f(u)\\
(f \cdot g)(u) &= f(u) \cdot g(u)
\end{aligned}$\m

\NI Nel seguito useremo questi risultati per $ U = \CC_{n}^{n}$.}

\Dimostrazione { Dimostriamo solo l'ultima relazione, in quanto le altre sono evidenti.

Siano $f= a_0 x^n + a_1 x^{n+1} + \dots + a_n$, $g= b_0 x^m + b_1 x^{m+1} + \dots + b_m$ ed $h:= f \cdot g$. Allora $ h= \displaystyle \sum_{k=0}^{n+m} c_k x^k$ con $c_k = \displaystyle \sum_{j=0}^{k} a_j b_{n-j}$ per ogni $k$.

Ma questi sono proprio i coefficienti che si ottengono raccogliendo i coefficienti delle potenze di $x$ con lo stesso esponente nel prodotto espanso $(a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n)(b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \dots + b_m)$ ed \eacc quindi chiaro che, sostituendo $x$ con $u$, si ottiene proprio $h(u)= \displaystyle \sum_{k=0}^{n+m} c_k u^k$. }

\Corollario { Siano $\lambda_1, \dots , \lambda_n \in \CC$ ed $ f= (x- \lambda_1) \cdots (x- \lambda_n)$.

Allora $f(A)= (A - \lambda_1 \delta) \cdots (A- \lambda_n \delta) $.}

\Definizione { Se calcoliamo l'espressione $ \det(x \delta - A) =: \PPP_A $ in $\CC[x]$, otteniamo un polinomio monico in $\CC[x]$ che si chiama il \C {polinomio caratteristico} di $A$.}

\Definizione { Sia $B \in \CC_n^n$. Le matrici $A$ e $B$ si dicono \C{simili}, se esiste $T \in GL(n,U)$ tale che $B= T^{-1} A T$.} 

\Proposizione {Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.}

\Dimostrazione {Segue immediatamente dalla definizione.}
\newpage
\Teorema { Sia $\lambda \in \CC$. Le condizioni $(1)$ e $(2)$ sono equivalenti tra di loro e, quando $n \geq 2$, equivalenti alla $(3)$:\m

\lista{
 \item[1] $\lambda$ \eacc un autovalore di $A$.
 \item[2] $\lambda$ \eacc radice del polinomio caratteristico di $A$ : $\quad \PPP_A (\lambda) = 0$.
 \item[3] Esiste una matrice $B \in \CC_{n-1}^{n-1}$ tale che $A$ \eacc simile a una matrice della forma $\Matrice { \lambda & * \\ 0 & B}$. In questo caso $\PPP_A = (x - \lambda) \cdot \PPP_B$.}
}  

\Dimostrazione { Corsi di geometria oppure Koecher, pag.234.}

\Proposizione { I sia un ideale ( possibilmente improprio) di $\CC[x]$. Se I $\neq 0$, esiste un unico polinomio monico $p \in \CC[x]$ che genera I.

Il grado di p \eacc il pi\uacc piccolo grado di un polinomio non nullo contenuto in I.}

\Dimostrazione { Corso di algebra.}

\Definizione {$\CC[A] : = \{ f(A) \mid f \in \CC[x] \}$.

\Eacc immediato che $\CC[A]$ \eacc una sotto-$\CC$-algebra di $\CC_n^n$. }

\Lemma {Esiste un polinomio $f \in \CC[x]$ con $f \neq 0$ ed $f(A)=0$.}

\Dimostrazione{Siccome $\CC[A]$ \eacc un sottospazio vettoriale di $\CC_n^n$, sicuramente $\dim_{\CC} \CC_n^n \leq n^2 =: s$. Ci\oacc significa che le $s+1$ matrici $\delta, A, A^2, \ldots, A^s$ sono linearmente dipendenti, perci\oacc esistono $a_0, a_1, \ldots, a_s \in \CC$ non tutti nulli, tali che $a_0 \delta + a_1 A + a_2 A^2 + \ldots + a_s A^s = 0$. Se poniamo $f:= a_0 + a_1 x+ \ldots + a_s x^s$ abbiamo trovato un polinomio $f \neq 0$ con $f(A)=0$.}

\Definizione { Dal lemma 7.2 \eacc immediato che l'insieme\\ $\{ f \in \CC[x] \mid f(A) = 0 \}$ \eacc un ideale (possibilmente improprio) di $\CC[x]$.

Dal lemma 7.10 sappiamo che questo ideale \eacc $\neq 0$, quindi per la proposizione 7.8 esiste un unico polinomio monico $\MMM_A \in \CC[x]$ che genera questo ideale.

Per ogni $f \in \CC[x]$ si ha quindi\m $f(A)=0$ se e solo se esiste $g \in \CC[x]$ con $f= g \cdot \MMM_A$. Il grado di $\MMM_A$ \eacc allo stesso tempo il pi\uacc piccolo grado di un polinomio $\neq 0$ che annulla $A$.

$\MMM_A$ si chiama il \C{polinomio minimale} di $A$. Per definizione $\MMM_A \neq 0$.}

\Corollario {$m$ sia il grado di $\MMM_A$. Allora:

\lista{
 \item[1] Le matrici $\delta, A, A^2, ... ,A^{m-1}$ formano una base di $\CC[A]$.
 \item[2] $\dim_{\CC} \CC[A] = m$.
}

}

\Dimostrazione{ Dal lemma 7.10 sappiamo che $\MMM_A \neq 0$, quindi $\MMM_A$ \eacc della forma $\MMM_A= x^m + a_1 x^{m-1} + \ldots + a_m$.

Abbiamo perci\oacc $A^m = -a_1 A^{m-1} - \ldots - a_m \delta$ e ci\oacc implica che \\$\delta, A, A^2, \ldots, A^{m-1}$ generano lo spazio vettoriale $\CC[A]$.

Se queste matrici fossero linearmente dipendenti, ad esempio \\$b_0 \delta + b_1 A + \ldots + b_{m-1} A^{m-1} = 0$ con i coefficienti $b_j$ non tutti nulli, allora con $g:= b_0 + b_1 x + \ldots + b_{m-1} x^{m-1}$ avremmo trovato un polinomio $g \neq 0$ con $g(A)=0$ e grado minore di $m$, in contraddizione alla prop.7.8.}

\Proposizione { $A$ \eacc invertibile se e solo se $\MMM_A (0) \neq 0$.

In tal caso $A^{-1} \in \CC[A]$.}

\Dimostrazione{Sia di nuovo $\MMM_A = x^m + a_1 x^{m-1} + \ldots + a_m$. Allora $A^m + a_1 A^{m-1} + \ldots + a_{m-1} A = -a_m \delta$ e quindi $AB = -a_m \delta$ con \\$B:= A^{m-1} + a_1 A^{m-2} + \ldots + a_{m-1} \delta$. Per il corollario 7.12 $B \neq 0$. 

Si noti che $\MMM_A (0) = a_m$.

\lista{
 \item[1] Sia $A$ invertibile. 

Allora $-a_m A^{-1} = B \neq 0$ e quindi $a_m \neq 0$.
 \item[2] Sia $a_m \neq 0$.

Allora $A^{-1} = -\Frac{1}{a_m} B \in \CC[A]$.}  }

\Esempio {Assumiamo di sapere che $\MMM_A = x^3 + 2x + 5$. Allora\m

$- 5 \delta =A^3 + 2A$, ovvero  $ A(A^2 + 2 \delta ) = - 5 \delta$ 

\NI e quindi\m

$A^{-1} = - \Frac{1}{5} (A^2 + 2 \delta) \in \CC[A]$.} 

\Corollario { $A$ sia invertibile. Allora esiste $f \in \CC[x] $ con\\
$f(A)= \delta $ ed $f(0)=0$ . }

\Dimostrazione{Per la proposizione 7.13 esiste $g \in \CC[x]$ con\\
 $A^{-1}=g(A)$. Perci\acc{o} $A\cdot g(A)=\delta$ e se poniamo $f=x \cdot g$, allora $f(A)=\delta$ ed $f(0)=0$.}

\Esempio {Nell'esempio 7.14 possiamo porre\m

$f= - \Frac{1}{5} x(x^2 + 2) = - \Frac{1}{5} (x^3 + 2)$.

\NI Infatti allora  $f(0)=0 $ ed $f(A)=- \Frac{1}{5}(A^3 + 2A)= - \Frac{1}{5} (-5 \delta) = \delta$. }

\Osservazione {Siano $f \in \CC[x]$  e $T \in GL(n, \CC)$.

Allora $f(T^{-1} A T) = f(A)$.}

\Dimostrazione{\Eacc sufficiente osservare che $(T^{-1} A T)^k = T^{-1} A^k T$ per ogni $k \in \NN$.}

\Corollario { Sia, anche, $B \in \CC_n^n$. Se le matrici $A$ e $B$ sono simili, allora $\MMM_A = \MMM_B$.}

\Lemma { Siano $\lambda \in \CC$ e $v \in \CC^n$ tali che $Av= \lambda v$. Per ogni $f \in \CC[x]$ allora $f(A)v=f(\lambda)v$.}

\Dimostrazione{ Infatti l'ipotesi implica $A^k v = \lambda^k v$ per ogni $k \in \NN$. Per linearit\aacc si ottiene l'enunciato.}

\Teorema {Per $\lambda \in \CC$ sono equivalenti: \m

\lista{
 \item[1] $\lambda$ \eacc autovalore di $A$.
 \item[2] $\lambda$ \eacc radice del polinomio caratteristico di $A$ : $\quad \PPP_A (\lambda) = 0$ .
 \item[3] $\lambda$ \eacc radice del polinomio minimale di $A$ : $\quad \MMM_A (\lambda)=0$.}}

\Dimostrazione{

$(1) \sse (2)$: Teorema 7.7.\m

$(1) \Rightarrow (3)$ : $\lambda$ sia un autovalore di $A$. Allora esiste $v \in \CC^n \setminus 0$ tale che $Av= \lambda v$. Dal lemma 7.9 segue che $\MMM_A (\lambda) v = \MMM_A(A) v = 0$ e quindi $\MMM_A (\lambda) = 0$ perch\'e $v \neq 0.$\m

$(3) \Rightarrow (1)$ : Sia $\MMM_A(\lambda) = 0$. Allora esiste $f \in \CC[x]$ tale che\\ $\MMM_A= (x - \lambda) f$. Siccome $f\neq 0$ e $\operatorname{grado} f < \operatorname{grado} \MMM_A$, la minimalit\aacc di $\MMM_A$ implica $f(A)\neq0$. Perci\oacc esiste un vettore $w \in \CC^n$ tale che $v:=f(A)w \neq 0$.

Usando il lemma 7.2 abbiamo adesso\m

$Av - \lambda v= Af(A) w - \lambda f(A) w = (A - \lambda \delta) f(A) w = \MMM_A (A) w = 0$.\m

\NI Siccome $v \neq 0$, ci\oacc mostra che $\lambda$ \eacc un autovalore di $A$.
 }

\Corollario { Sia $f \in \CC[x]$ con $f(A)=0$. Allora $f(\lambda)=0$ per ogni autovalore $\lambda $ di $A$ .  }


\Teorema [(teorema di Cayley-Hamilton)] {$\PPP_A(A)=0$.}

\Dimostrazione {Corsi di geometria oppure Mondini, pagg. 68-70.}

\Corollario {Il polinomio minimale $\MMM_A$ divide il polinomio caratteristico $\PPP_A$.}


\Nota {Dal teorema 7.20 e dal corollario 7.23 vediamo che, se il polinomio caratteristico di $A$ possiede la forma\m

$\PPP_A = {(x- \lambda _1)}^{n_1} \cdots {(x - \lambda _s)}^{n_s} $

\NI con i $ \lambda _k$ distinti e gli esponenti $n_k \geq 1$, allora il polinomio minimale $\MMM_A$ \eacc della forma\m

$\MMM_A = (x - \lambda_1)^{m_1} \cdots (x - \lambda_s)^{m_s}$ \m 

\NI con $ 1 \leq m_k \leq n_k$ per ogni $k$.

Se $n$ non \eacc troppo grande e se gli autovalori $\lambda_k$ sono noti con le loro molteplicit\aacc $n_k$ (come accade nel caso di una matrice triangolare), possiamo cos\iacc trovare il polinomio minimale tra i polinomi della forma $(x - \lambda_1)^{r_1} \cdots (x - \lambda_s)^{r_s}$ con $ 1 \leq r_k \leq n_k$ per ogni $k$, partendo con \\$r_1 = \ldots = r_s = 1$ e aumentando gli esponenti, fino a quando troviamo un polinomio che annulla A.

Assumiamo ad esempio che $\PPP_A = (x - \lambda)^3 (x - \mu )^2 (x - \nu)$ con $ \lambda, \mu, \nu $ distinti.

Allora proviamo, in questo ordine, i sei polinomi\m

$\begin{aligned}
f_1 &= (x - \lambda)(x - \mu)(x -\nu)\\
f_2 &= (x - \lambda)^2 (x - \mu)(x -\nu)\\
f_3 &= (x - \lambda)(x - \mu)^2 (x -\nu)\\
f_4 &= (x - \lambda)^3(x - \mu)(x -\nu)\\
f_5 &= (x - \lambda)^2(x - \mu)^2(x -\nu)\\
f_6 &= (x - \lambda)^3(x - \mu)^2(x -\nu)
\end{aligned}$\m

\NI fino a quando $f_j(A)=0$. Possiamo eseguire l'algoritmo formando in successione\m

$\begin{aligned}
B_1 &= (A - \lambda\delta)(A - \mu\delta)(A -\nu\delta)\\
B_2 &= B_1(A - \lambda\delta)\\
B_3 &= B_1(A - \mu\delta)\\
B_4 &= B_2(A - \lambda\delta)\\
B_5 &= B_2(A - \mu\delta)\\
B_6 &= B_5(A - \lambda\delta)
\end{aligned}$\m

\NI fino a quando $B_j=0$.
}

\end{document}