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\begin{document}\Century{1100}

\setlength {\parindent} {1em}

\Capitolo {\Century{1300} 8. Matrici che soddisfano una equazione quadratica}


\Situazione {Sia $A \in \CC_n^n$. Quando non \eacc indicato diversamente, $\lambda , \mu \in \CC$ e $t \in \RR$.}

\Definizione {Diciamo che $A$ soddisfa un'equazione quadratica, se esiste un polinomio $f \in \CC[x]$ di grado $\leq 2$ tale che $f(A)=0$.

Possiamo assumere che $f$ abbia una delle seguenti forme:\m

$\begin{aligned}
f&= x- \lambda\\
f&=(x- \lambda)^2\\
f&=(x - \lambda)(x - \mu)
\end{aligned}$\m

\NI con $\lambda \neq \mu$.}

\Osservazione { 
\lista{
 \item[1] Sia $A - \lambda \delta = 0$. Allora $A=\lambda \delta$ e $x-\lambda$ \eacc il polinomio minimale di $A$. In questo caso $e^{tA} = e^{\lambda t} \delta$.
 \item[2] Sia $(A - \lambda \delta )(A - \mu \delta)= 0$, ma $A - \lambda \delta \neq 0$ e $A -\mu \delta \neq 0$.

Allora $(x - \lambda)(x - \mu)$ \eacc il polinomio minimale di $A$.}}

\Lemma {Con $Q := A - \lambda \delta$ sia $ Q^ 2 = 0$. Allora $A Q = \lambda Q$.}

\Dimostrazione {Abbiamo $0 = Q^2 = (A - \lambda \delta) Q= AQ - \lambda Q$.
}

\Proposizione { Sia $(A - \lambda \delta)^2 = 0$. Allora\m

$e^{At} = e^{\lambda t} (\delta + t (A - \lambda \delta) )$.

}

\Dimostrazione { Siano $Q:= A - \lambda \delta$ e $X:= e^{\lambda t} (\delta + t Q)$. \Eacc sufficiente dimostrare che $X(0)=\delta$ e che $X$ soddisfa l'equazione differenziale $\dot{X}=AX$.\m

\lista{
 \item[1] $X(0)=\delta$.
 \item[2] $\dot{X} = \lambda e^{\lambda t} ( \delta +tQ) + e^{\lambda t}Q = e^{\lambda t} [ \lambda \delta + \lambda t Q + Q] = e^{\lambda t} (A + \lambda tQ)\\
AX  = e^{\lambda t} (A+tAQ) \stackrel{8.4}{=} e^{\lambda t} (A + \lambda t Q).$}

\NI Si noti che l'enunciato \eacc banalmente vero anche quando $A-\lambda \delta =0$.

Un'altra dimostrazione verr\aacc data nella proposizione 9.2.}

\Osservazione { Sia $(A- \lambda \delta)^2=0$, ma $A \neq \lambda \delta$. Allora $(x - \lambda)^2$ \eacc evidentemente il polinomio minimale di $A$, e siccome le radici di $\MMM_A$ coincidono con le radici di $\PPP_A$, necessariamente $\PPP_A = (x - \lambda)^n$.}

\Nota { Il polinomio caratteristico di una matrice $2\times2$\ \\$A= \Matrice { a & b \\ c & d }$ \eacc $ x^2 - (a+d)x +ad -bc$.

Dal teorema 7.20 segue che la matrice soddisfa l'equazione\\
$(A - \lambda \delta)^2 = 0 $ se e solo se $\lambda$ \eacc radice doppia del polinomio caratteristico.

Per la proposizione 8.5 abbiamo in questo caso\m

$e^{At} = \Matrice {1 & 0 \\ 0 & 1} e^{\lambda t} + \Matrice { a - \lambda & b \\ c & d - \lambda } t e^{\lambda t}.$\m

\NI Si noti che $\PPP_A$ possiede una radice doppia se e solo se il discriminante $ (a+d)^2 - 4(ad - bc) = ( a - d)^2 + 4bc$ si annulla. In tal caso $ \lambda = \Frac{a+d}{2}$. }

\Esempio {Sia $A = \Matrice{ 14 & 9 \\ -4 & 2}$. Allora $\PPP_A = x^2 -16x+64= (x-8)^2$.

Inoltre $A \neq 8\delta$. Per la proposizione 8.5 abbiamo:\m

$e^{tA}= \Matrice { 1 & 0 \\ 0 & 1} e^{8t} + \Matrice { 6 & 9 \\ -4 & -6 } t e^{8t} = e^{8t} \Matrice{ 1 + 6t & 9t \\ -4t & 1 -6t}$

}

\Esempio { Sia $A = \Matrice { \lambda & b \\ 0 & \lambda}$. Allora\m

$e^{tA} = \Matrice{ 1 & 0 \\ 0 & 1} e^{\lambda t} + t e^{\lambda t} \Matrice {0 & b \\ 0 & 0} = \Matrice { e^{\lambda t} & bte^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t}}$
}

\Esempio { Siano $A = \Matrice { 21 & 5 & 2 \\ -72 & -17 & -8 \\ 18 & 5 & 5}$ e $ Q := A - 3 \delta = \Matrice { 18 & 5 & 2 \\ -72 & -20 & -8 \\ 18 & 5 & 2}$.\m

Allora $ Q ^2 =0$ e dalla proposizione 8.5 abbiamo\m

$e^{tA}= e^{3t} \Matrice{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} + t e^{3t} \Matrice { 18 & 5 & 2 \\ -72 & -20 & -8 \\ 18 & 5 & 2} = e^{3t} \Matrice { 1+18t & 5t & 2t \\ -72t & 1-20t & -8t \\ 18t & 5t & 1+2t}$}


\Lemma  { Sia $(A - \lambda \delta)(A - \mu \delta) =0$ con $\lambda \neq \mu$.

Se poniamo $P := \Frac {A-\mu \delta}{\lambda - \mu}$ e $Q := \Frac{A - \lambda \delta}{\mu - \lambda}$, allora $AP=\lambda P $ e $A Q = \mu Q$.}

\Dimostrazione { $A$ soddisfa l'equazione $A^2= (\lambda + \mu)A - \lambda \mu \delta$. Perci\oacc \m

$AP =  \Frac{1}{\lambda - \mu} ( A^2 - \mu A) = \Frac{1}{\lambda - \mu} [(\lambda + \mu)A - \lambda \mu \delta - \mu A] = \lambda \Frac{A - \mu \delta}{\lambda - \mu}= \lambda P,$

\NI e nello stesso modo (per simmetria) $AQ= \mu Q$.}

\Proposizione {Sia $(A - \lambda \delta)(A - \mu \delta) = 0 $ con $\lambda \neq \mu$. Allora\m

$e^{tA}= \Frac{ A - \mu \delta}{\lambda - \mu} e^{\lambda t} +  \Frac{A - \lambda \delta}{\mu - \lambda} e^{\mu t}$

}

\Dimostrazione { Con $P := \Frac {A-\mu \delta}{\lambda - \mu}$ e $Q := \Frac{A - \lambda \delta}{\mu - \lambda}$, poniamo\\ $X:= Pe^{\lambda t} + Q e^{\mu t}$. Di nuovo \eacc sufficiente dimostrare che $X(0)=\delta$ e che $X$ soddisfa l'equazione differenziale $\dot{X}=AX$. \m

\lista{
 \item[1] $X(0)= P+Q= \Frac{1}{\lambda - \mu} (A - \mu\delta -A + \lambda \delta) = \delta$ .
 \item[2] $\dot{X} = \lambda P e^{\lambda t} + \mu Q e^{\mu t}$, mentre $AX= A P e^{\lambda t} + A Q e^{\mu t}X$.\\
Per il lemma 8.11 abbiamo $AP= \lambda P$ e $AQ = \mu Q$ e ci\oacc implica che veramente $\dot{X}=AX$.}
  }

\Nota { $A= \Matrice { a & b \\ c & d}$ sia una matrice quadratica con gli autovalori $\lambda$ e $\mu$. Se $\lambda \neq \mu$, dalla proposizione 8.12 abbiamo\m

$e^{tA}= \Frac{1}{\lambda - \mu} \Matrice{ a - \mu & b \\ c & d - \mu} e^{\lambda t} + \Frac{1}{\mu - \lambda} \Matrice{ a -\lambda & b \\ c & d- \lambda} e^{\mu t}$.
}

\Esempio { Sia $A = \Matrice{ 33 & 124 \\ -8 & -30}$. Il polinomio caratteristico di $A$ \eacc $ x^2 -3x +2 = (x - 2)(x-1)$. Dalla nota 8.13 otteniamo\m

$e^{At}= \Matrice{32 & 124 \\ -8 & -31} e^{2t} - \Matrice {31 & 124 \\ -8 & -32} e^t $
}

\Esempio { Sia $ A= \Matrice { \lambda & b \\ 0 & \mu}$ con $ \lambda \neq \mu $. Allora\m

$e^{tA}= \Frac{1}{\lambda - \mu}  \Matrice{ \lambda - \mu & b \\ 0 & 0} e^{\lambda t} + \Frac{1}{\mu - \lambda} \Matrice{0 & b \\ 0 & \mu - \lambda} e^{\mu t} = \Matrice { e^{\lambda t} & \frac{b}{\lambda - \mu} ( e^{\lambda t} - e^{\mu t}) \\ 0  & e^{\mu t}}$
}    

\Esempio { Siano $b \in \CC$ e $A:= \Matrice{ 0 & b \\ -b & 0}$.

Allora \quad $e^{tA}=\Matrice{ \cos{bt} & \sin{bt} \\ -\sin{bt} & \cos{bt}}$.}

\Dimostrazione{ Si vede direttamente che la formula \eacc vera per \\$b=0$. Sia $b \neq 0$. Il polinomio caratteristico di $A$ \eacc $x^2 + b^2$ e gli autovalori di $A$ sono $ib$ e $-ib$. Applicando la nota 8.13 con $\lambda = ib$ e $\mu = -ib$ abbiamo\m

$\begin{aligned}
e^{tA} &= \Frac{1}{2bi} \Matriceq {\Matrice{ ib & b \\ -b & ib} e^{ibt} + \Matrice{ib & -b \\ b & ib} e^{-ibt}}=\\
 &= \Frac{1}{2i} \Matriceq {\Matrice{ i & 1 \\ -1 & i}e^{ibt} +  \Matrice{ i & -1 \\ 1 & i } e^{-ibt}} =\\ 
&= \Frac{1}{2i} \Matrice{ ie^{ibt} + ie^{-ibt} & e^{ibt}-e^{-ibt} \\ -e^{ibt}+e^{-ibt} & ie^{ibt}+ ie^{-ibt}} = \Matrice{ \cos{bt} & \sin{bt} \\ -\sin{bt} & \cos{bt}}
\end{aligned}$
}

\Esempio {Siano $b \in \CC$ e $A:=\Matrice{ 0 & b \\ b & 0}$.

Allora \quad $e^{tA}= \Matrice{ \cosh{bt} & \sinh{bt} \\ \sinh{bt} & \cosh{bt}}$.
}

\Dimostrazione { Si vede direttamente che la formula \eacc vera per \\$b=0$. Sia $b \neq 0$. Il polinomio caratteristico di $A$ \eacc $x^2 - b^2$ e gli autovalori di $A$ sono $b$ e $-b$. Applicando la nota 8.13 con $\lambda=b$ e $\mu = -b$ abbiamo\m

$\begin{aligned}
e^{tA} &= \Frac{1}{2b} \Matriceq {\Matrice{ b & b \\ b & b} e^{bt} - \Matrice{ -b & b \\ b & -b} e^{-bt}} = \Frac{1}{2} \Matriceq { \Matrice{ 1 & 1 \\ 1 & 1}e^{bt} + \Matrice{1 & -1 \\ -1 & 1 } e^{-bt}} =\\
&= \Frac{1}{2} \Matrice{ e^{bt}+e^{-bt} & e^{bt} - e^{-bt} \\ e^{bt}-e^{-bt} & e^{bt}+e^{-bt}}= \Matrice{ \cosh{bt} & \sinh{bt} \\ \sinh{bt} & \cosh{bt}}
\end{aligned}$
}

\Osservazioneincorsivo {
\lista{
 \item[1] Il polinomio minimale di $A$ \eacc della forma $(x-\lambda)(x - \mu)$ con\\ $\lambda \neq \mu$ se e solo se la forma normale di Jordan di $A$ \eacc una matrice diagonale con gli autovalori $\lambda$ e $\mu$.
 \item[2] Il polinomio minimale di $A$ \eacc della forma $(x - \lambda)^2$ se e solo se nella forma normale di Jordan gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a $\lambda$ e appare almeno una casella di Jordan di dimensione 2 e nessuna casella di Jordan di dimensione superiore.}
}


\end{document}