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\begin{document}\Century{1100}

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\Capitolo {11. La formula spettrale di Sylvester-Buchheim}

\Situazione{ Siano $A \in \CC_n^n$ ed $\MMM_A = (x - \lambda_1)^{m_1} \cdots (x - \lambda_s)^{m_s}$ con i $\lambda_k$ tutti distinti ed $m_k \geq 1$ per ogni $k$. Siano $m:= m_1 + \ldots +m _s$ e $t \in \RR$.}

\Proposizione { $\Omega$ sia un dominio di $\CC$ che contiene lo spettro $\delta(A)$ ed $f, g : \Omega \rightarrow \CC$ due funzioni analitiche. Assumiamo che per ogni $k= 1, \ldots, s$ si abbia $f^{(j)} (\lambda_k) = g ^ {(j)} (\lambda_k)$ per ogni $j= 0, \ldots, m_k -1$. Allora $f(A)=g(A)$.}

\Dimostrazione{ Forst/Hoffmann, pag. 335, Cullen, pagg. 263-264, Horn/Johnson, pagg. 396-397. Cfr. Gantmacher, pagg. 122-123.}

\Corollario {Sia $g \in \CC[x]$ un polinomio tale che per ogni\\$k=1, \ldots, s$ si abbia $t^j e^{t \lambda_k} = g^{(j)}(\lambda_k)$ per ogni $j=0, \ldots, m_k-1$. 

Allora $e^{tA}= g(A)$.}  

\Dimostrazione{MANCA}

\Osservazione{Dal corollario 11.3 otteniamo una nuova dimostrazione della proposizione 9.22. Se infatti $(A -\lambda \delta)^m =0$, possiamo assumere che $\MMM_A = ( x- \lambda)^m$. Se poniamo $g = \displaystyle e^{t \lambda} \sum_{k=0}^{m-1} \Frac{t^j}{j!} (x - \lambda)^j$, dal corollario 11.3 segue $e^{tA} = g(A)$, in accordo con la proposizione 9.2. Vediamo adesso come questa semplice osservazione pu\oacc essere generalizzata nel caso generale tramite la teoria del polinomio di interpolazione di Hermite.}


\Proposizione{Sia $m_k=1$ per ogni $k=1, \ldots, s$. In tal caso $m=n$. Se scegliamo $v_{k0}= e^{t \lambda_k}$ nella proposizione 10.7, $H$ coincide necessariamente con il polinomio di interpolazione di Lagrange $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} e^{\lambda_k t} L_k(A)$ e dal corollario 10.3 otteniamo\m

$e^{tA}= \displaystyle \sum_{k=1}^n e^{\lambda_k t} L_k(A)$\m

\NI in accordo con la proposizione 9.10.}


\Proposizione[Formula spettrale di Sylvester-Buchheim]{$\Omega$ sia un dominio di $\CC$ che contiene lo spettro $\sigma(A)$ ed $f:\Omega \Rightarrow \CC$ una funzione analitica. Allora\m

$f(A)=\displaystyle \sum_{k=1}^{s} \sum_{j=1}^{m_k -1} f^{(j)}(\lambda_k) H_{kj}(A)$.}

\Dimostrazione{MANCA}

\Osservazione{$e^{tA}=\displaystyle \sum_{k=1}^{s} \sum_{j=1}^{m_k -1} t^j e^{t \lambda_k} H_{kj}(A)$.}

\Nota{Sia $p \in \CC[x] \setminus 0$ con $p(A)=0$. Allora \\$p= (x - \lambda_1)^{r_1} \cdots (x - \lambda_s)^{r_s} (x-\lambda_{s+1})^{r_{s+1}} \cdots (x - \lambda_v)^{r_v}$ con $v \geq s, \lambda_{s+1}, \ldots, \lambda_v \in~\CC$ ed $r_1 \geq m_1, \ldots, r_s \geq m_s$.

Se formiamo i polinomi di interpolazione fondamentali di Hermite $\widetilde{H_{kj}}$ rispetto a questo sistema di valori, allora si ha ancora\\$e^{tA}=\displaystyle \sum_{k=1}^{v} \sum_{j=1}^{m_k -1} t^j e^{t \lambda_k} \widetilde{H_{kj}}(A)$. In verit\aacc quasi sempre ci si pu\oacc limitare al caso $v=s$ e dalla proposizione 11.6, applicata agli $\widetilde{H_{kj}}$, si vede che $\widetilde{H_{kj}}(A)=0$ per $k=1, \ldots, s$ e $j \geq m_k$. Possiamo in particolare applicare questo ragionamento quando $p=\PPP_A$. Cfr. Forst/Hoffmann, pag.335.}

\Esempio{Sia $A=\Matrice{ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & -4 \\ 1 & 2 & -1 }$. Allora $\PPP_A = \MMM_A = x(x-1)^2$. $H_{10} =H[0 : (1), 1: (0, 0)]$, MANCA}

\Esempio{Sia $\MMM_A = x^2 (x-1)^3 (x-2)$. Calcoliamo $e^{tA}$.MANCA}

\Osservazione {Quando gli autovalori di $A$ non sono noti, possono essere usate formule algebriche di ricorrenza al posto della rappresentazione spettrale, come esposto nel lavoro di Verde Star citato in bibliografia.}


\end{document}