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\newcommand {\Cartellalatex} {/home/esg/Latex}

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\begin{document}\Century{1100}

\setlength {\parindent} {1em}

\Capitolo{12. Matrici che soddisfano un equazione cubica}


\Situazione{ Sia $A \in \CC_n^n$. $\lambda, \mu, \nu \in \CC$ ed $m \in \NN+1$. $\Omega$ sia un dominio di $\CC$ che contiene la spettro $\sigma(A)$ ed $f: \Omega \Rightarrow \CC$ una funzione analitica. $t \in \RR$.}

\Proposizione{Sia $\MMM_A = (x -\lambda)^m$. Allora\m

$\begin{aligned}
f(A) &= \displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \Frac{f^{(j)} (\lambda)}{j!} (A - \lambda \delta)^j,\\
e^{tA} &= e^{\lambda t} \displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \Frac{t^j}{j!} (A - \lambda \delta)^j.
\end{aligned}$
}

\Dimostrazione{MANCA}

\Proposizione{ Sia $\MMM_A = (x - \lambda)(x - \mu)$ con $\lambda \neq \mu$. Allora\m

$\begin{aligned}
f(A) &= \Frac{f(\lambda)}{\lambda - \mu} (A - \mu \delta) + \Frac{f(\mu)}{\mu - \lambda} (A - \lambda \delta),\\
e^{tA} &= \Frac{e^{\lambda t}}{\lambda - \mu} (A - \mu \delta) + \Frac{e^{\mu t}}{\mu - \lambda} (A - \lambda \delta).
\end{aligned}$

}

\Dimostrazione{MANCA}

\Proposizione{ Sia $\MMM_A = (x- \lambda)^2 (x- \mu)$ con $\lambda \neq \mu$. Allora\m

$\begin{aligned}
f(A) &= f(\lambda) \delta + f'(\lambda) (A - \lambda \delta) + \Matriceq{ \Frac{f(\mu) - f(\lambda)}{(\mu - \lambda)^2} - \Frac{f'(\lambda)}{\mu - \lambda}} (A - \lambda \delta)^2,\\
e^{tA} &= MANCA.
\end{aligned}$

}

\Dimostrazione{MANCA}

\Proposizione{ Sia $\MMM_A = (x - \lambda)(x - \mu)(x - \nu)$ con $\lambda, \mu, \nu$ distinti tra loro. Allora\m

$\begin{aligned}
f(A) &= f(\lambda) \Frac{ (A - \mu \delta)(A - \nu \delta)}{(\lambda - \mu)(\lambda - \nu)} + f(\mu) \Frac{(A- \lambda \delta)(A - \nu \delta)}{(\mu - \lambda)(\mu - \nu)} + f(\nu) \Frac{(A - \lambda \delta)(A - \mu \delta)}{(\nu - \lambda)(\nu - \mu)},\\
e^{tA} &= MANCA.
\end{aligned}$

}

\Dimostrazione{ Queste formule seguono direttamente dalla proposizione 11.5.} 

\Osservazione{ In Chen/Yau gli autovalori di matrici $3 \times 3$ e $4 \times 4$ sono calcolati in termini dei coefficienti di $A$; in questo modo si ottengono formule per $e^{tA}$ che in tal caso dipendono dai coefficienti.}

\end{document}