%% Nome del file:esponenziale

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\begin{document}\Century{1100}

\setlength {\parindent} {1em}

\Capitolo {25. La distribuzione esponenziale}


\Definizione {Diciamo che una variabile casuale X possiede una \C{distribuzione esponenziale}, se la sua funzione di distribuzione \eacc della forma:\m

$p(X \le t) =\begin{cases}
1-e^{-\lambda t} & \quad\text{per } t \ge0 \\ 
\quad 0  & \quad\text{per } t<0 
\end{cases}$

\NI La densit\aacc di una tale distribuzione \eacc data da\m
 
$\Fun_{t}
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda t} & \quad\text{per } t \ge0 \\
\quad 0 & \quad\text{per } t < 0
\end{cases}$
\NI}

\Situazione {Consideriamo una popolazione di cellule che crescono secondo la legge $n(t)=n(0)e^{-\lambda t}$ con $\lambda >0$.
Sia $m(t)$ il numero delle cellulle che muoiono entro un tempo minore di $t$.

Allora $n(t)+m(t)=n(0)$.
Poniamo $m(t)=0$ per $n<0$, e quindi\\
$m(t)=n(0)(1-e^{-\lambda t})$.

$m/n(0)$ \eacc perci\oacc una distribuzione esponenziale.}

\Nota {Sia $v:=m'$. Allora\m

$\displaystyle m(t)=m(0)+ \int\limits_0^t v(s) \, ds $

\NI per ogni $t \ge 0$. D'altra parte $m(0)=0$, perch\'e $n(t)+m(t)=n(0)$, quindi\m

$\displaystyle m(t)= \int\limits_0^t v(s) \, ds $

\NI per ogni $t \ge 0$ oppure, pi\uacc in generale,\m

$ \displaystyle \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} v(s) \, ds  = m(t_{2}) - m(t_{1}) $

\NI per ogni $0 \le t_{1} \le t_{2}$.
L'integrale a sinistra \eacc perci\oacc uguale al numero delle cellule che muoiono nell'intervallo di tempo $(t_{1},t_{2}]$. 
Grazie alla continuit\aacc di $m$, possiamo anche usare l'intervallo chiuso $[t_{1},t_{2}]$.


Possiamo, dunque, considerare $\frac{1}{n(0)} \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(s) \, ds$ come la probabilit\aacc che una cellula muoia nell'intervallo $[t_{1},t_{2}]$, cio\eacc che la durata di vita di una cellula appartenga all'intervallo $[t_{1},t_{2}]$.

Ci\oacc implica che la media $\mu$ della distribuzione esponenziale pu\oacc essere interpretata come la \C{durata di vita media} delle cellule della nostra popolazione.}

\newpage 
\Osservazione {La media\m

$\displaystyle \mu = \int\limits_0^{\infty} te^{-\lambda t} \, dt = \frac{1}{\lambda} $

\NI pu\oacc essere calcolata con l'integrazione per parti oppure, in modo pi\uacc elegante, riconducendoci alla funzione gamma; in questo modo possiamo, pi\uacc in generale, calcolare prima i momenti\m

$ \displaystyle MX^k = \int\limits_0^{\infty} t^{k} \lambda e^{-\lambda t} \, dt $

\NI di una variabile casuale con distribuzione esponenziale e poi calcolare $\mu=MX^k$.
Infatti, se si opera una sostituzione ponendo $\lambda t= s$ e si ricorda che $\Gamma (z) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} \, dt$ e che $\Gamma(n+1) = n!$, si ottiene\m

$\begin{aligned}
\displaystyle MX^{k} &= \int\limits_0^{\infty} e^{-\lambda t} t^k \lambda \, dt = \int\limits_0^{\infty} \lambda {\Tonde{\frac{s}{\lambda}}}^{k} \frac{e^{-s}}{\lambda} \, ds  \\ 
&= \frac{1}{\lambda ^k} \int\limits_0^{\infty} s^k e^{-s} \, ds = \frac{\Gamma (k+1)}{\lambda ^k} = \Frac{k!}{\lambda^k} 
\end{aligned}$

\NI e quindi, in particolare, $\mu = MX = \Frac{1}{\lambda}$.

Possiamo anche trovare la varianza:\m

$\sigma ^2 = MX^2 - ({MX}) ^2 = \Frac{2}{\lambda ^2} - \Frac{1}{\lambda ^2} = \Frac{1}{\lambda ^2}$}

\Nota { La distribuzione esponenziale viene usata spesso per modellare il decadimento radioattivo, la caduta di meteoriti, gli incidenti aerei, gli intervalli nell'arrivo di clienti a uno sportello, la lunghezza di conversazioni telefoniche, la durata di vita di meccanismi la cui media di servizio non dipende dall'usura.
Infatti la distribuzione esponenziale possiede una propriet\aacc caratteristica, che non \eacc posseduta da nessun'altra distribuzione probabilit\aacc : ossia \C{non ha memoria}.
Questo fenomeno \eacc spiegato ad esempio in Dall'Aglio, pagg. 83-84.}

\Osservazione {Il tempo di dimezzamento $\frac{\log 2}{\lambda}$ pu\oacc essere considerato come la \C{mediana} della distribuzione esponenziale.}

\Osservazione {La \C{mancanza di memoria}, quando riferita alla durata di vita, pu\oacc essere considerata naturale quando la morte di un individuo dipende da \C{fattori esterni}. Assumiamo, ad esempio, che una persona passeggi in una strada da alcune ore e che ora sopraggiunga un amico. La probabilit\aacc che nei prossimi 10 minuti un vaso cada da un balcone e colpisca la prima persona \eacc uguale alla probabilit\aacc che colpisca l'amico appena arrivato.

Nello stesso modo possiamo assumere che \C{la morte di una cellulla sia causata da segnali presenti nel tessuto che possono raggiungere la cellula indipendentemente dalla sua et\acc{a}}.}

\end{document}