12 Algebra

12 A  Trattati generali
12 AE Esposizioni elementari
12 E  Esercizi
12 M  Monografie
12 N  Aspetti numerici e algoritmi
12 P  Raccolte
12 XD Campi reali e complessi
12 XE Teoria generale dei campi
12 XG Metodi omologici
12 XH Algebra differenziale


Nella classificazione del Mathematical Reviews questo numero è dedicato alla teoria dei campi e ai polinomi. In biblioteca abbiamo qui incluso anche quella parte dell'algebra che in genere viene svolta al primo anno del corso di laurea in matematica.

N. BOURBAKI: Algebra. 2 volumi. Springer 1989.
I. HERSTEIN: Algebra. Editori riuniti 1982.
S.T. HU: Elements of modern algebra. Holden-Day 1965.
N. JACOBSON: Basic algebra. 3 volumi. Freeman.
P. KOCHENDÖRFER: Introduction to algebra. Noordhoff 1972.
S. LANG: Algebra. Addison-Wesley.
S. MACLANE/G. BIRKHOFF: Algebra. MacMillan 1968.
H. REIFFEN/G. SCHEJA/U. VETTER: Algebra. Bibl. Institut 1969.
B. WAERDEN: Algebra. 2 volumi.

Il miglior testo di algebra al primo anno sono gli appunti del corso. Dei libri indicati il mio preferito è quello di Reiffen/Scheja/Vetter, abbastanza ideale per chi dovesse studiare algebra da solo. Ma è in tedesco e non è più in commercio. Per lo studente è comunque consigliabile passare dopo aver superato il corso di algebra direttamente allo studio della teoria dei gruppi o dell'algebra commutativa. Il Jacobson è molto buono, ma sono tre grossi volumi. Il libro di Hu è molto leggibile, contiene poco sulla teoria dei corpi, ma può essere utile più tardi quando si farà algebra omologica.

G. SCHEJA/U. STORCH: Lehrbuch der Algebra. 3 volumi. Teubner 1981.

Un libro molto dettagliato, utile soprattutto per chi lavora in algebra. Non comprende l'algebra commutativa.

M. GIRARDI/G. ISRAEL: Teoria dei campi. Feltrinelli 1976.
D. WINTER: The structure of fields. Springer 1974.

Il Girardi/Israel introduce alla teoria dei campi, partendo all'incirca lì dove finisce il corso del primo anno. 

H. EDWARDS: Galois theory. Springer 1984.
D. GARLING: Galois theory. Cambridge UP 1986.

Sia L:K un'estensione di corpi. Assumiamo che car K = 0 e che |L:K|<•. Per il teorema dell'elemento primitivo esiste allora un elemento tŒL tale che L=K(t).
Assumiamo che Y sia una chiusura algebrica di L. Allora il polinomio minimale f di t su K si decompone in Y come f=(x-t)(x-t2)...(x-tn). Gli elementi t,t2,...,tn si chiamano fratelli di t su K (comunemente si chiamano elementi coniugati di t). Il gruppo di Galois di L su K è definito come Gal(L:K) := {s:L--->L (O,corpi) | s(a)=a per ogni aŒK}. Si vede subito che questo è veramente un gruppo, il cui significato si vede meglio così: Ogni elemento aŒL è un polinomio in t con coefficienti in K, ad esempio a = 2t5-7t2+t-17. Sia s(t) := s. Allora s(a) = 2s5-7s2+s-17. Si vede anche che s deve essere un fratello di t, perché con lo stesso calcolo si ha 0=s(0)=s(f(t))=f(s). Esercizio: Verificarlo subito, assumendo che f=t4+2t3+8t2+t+5. Quindi Gal(L:K) permuta i fratelli di t tra di loro. D'altra parte ogni sŒGal(L:K) è determinato da s=s(t) (perché? attenzione!), quindi card Gal(L:K) = numero dei fratelli distinti di t in Y, quindi card Gal(L:K) £ n=|L:K|. D'altra parte l'estensione L:K è separabile, perché car K = 0, quindi i fratelli di t sono tutti distinti tra di loro. L:K si chiama normale, se i fratelli di t sono tutti contenuti in L (che questa definizione è equivalente a quella usuale, è l'unico punto difficile in questa parte della teoria di Galois). Otteniamo così che, quando L:K è normale, allora card Gal(L:K) = |L:K|. Il teorema fondamentale della teoria di Galois asserisce adesso che, nelle stesse condizioni, esiste una biiezione tra i sottocorpi di L che contengono K (i cosiddetti corpi intermedi di L:K) e i sottogruppi di G := Gal(L:K). Assumiamo ad esempio che |L:K|=4. Allora G possiede 4 elementi, ed è quindi isomorfo al gruppo Z/n o al gruppo V={1,a,b,c} con a2=b2=c2=1, ab=c, ac=b, bc=a. Z/n ha solo un sottogruppo non banale, quindi in quel caso L:K ha solo un corpo intermedio non banale, V invece ha tre sottogruppi non banali ({1,a}, {1,b}, {1,c}), quindi L:K ha allora tre corpi intermedi non banali. Esiste anche un metodo per calcolare il corpo intermedio F corrispondente a un sottogruppo H di G: F={aŒL | s(a)=a per ogni sŒH}.

L. KOLLROS: Evariste Galois. Birkhäuser 1978.

Evariste Galois visse dal 1811 al 1832. "In tutta la storia della scienza, la breve vita di Evariste Galois è certamente la più strana, la più tragica e una delle più feconde per il progresso della matematica moderna.
Un giovane, considerato dai suoi contemporanei come agitatore politico, viene ucciso in un duello a 20 anni e 7 mesi. Durante la notte prima della sua morte scrive febbrilmente il suo testamento scientifico. Qualche anno pìù tardi, si riconoscerà in lui un matematico di genio, uno delle menti più profonde del 19esimo secolo." Così Kollros inizia la biografia di Galois. E' scritta in francese e molto bella.

R. LIDL/H. NIEDERREITER: Finite fields. Cambridge UP 1987.

La caratteristica di un corpo finito K è un primo p, quindi K contiene un corpo k isomorfo a Z/p. La dimensione |K:k| =: n è necessariamente finita, quindi come spazio vettoriale K è isomorfo a kn. Adesso k ha p elementi, quindi K ne deve avere pn. La cardinalità di un corpo finito è perciò sempre una potenza di un primo. Non esiste un corpo con 100 elementi. Per ogni primo p ed ogni n esiste invece, a meno di isomorfia, sempre esattamente un corpo con pn elementi. Il trattato di Lidl/Niederreiter, più di 700 pagine, è molto ben fatto e contiene un grande numero di esempi e di tabelle e una bibliografia di 160 pagine. I corpi finiti hanno applicazioni in teoria dei numeri, teoria dei codici, geometrie finite, calcolo combinatorio, e in molti campi dell'informatica.  

H. WEBER: Algebra. 3 volumi. Chelsea.

Quest'opera molto famosa ha all'incirca ottant'anni e sembra indistruttibile. Il primo volume contiene, tra molte altre cose, 130 pagine sulle radici reali di un polinomio e sul loro calcolo numerico e 200 pagine di teoria di Galois, il terzo volume è tutto dedicato alle applicazioni dell'algebra in teoria dei numeri, con 300 pagine sulle funzioni ellittiche e le funzioni modulari.

B. MATZAT: Konstruktive Galoistheorie. 
    Springer Lecture Notes Math. 1284 (1987).

Il problema inverso della teoria di Galois chiede se un dato gruppo finito G può essere interpretato come gruppo di Galois di un'estensione di corpi. Sia A il corpo di tutti i numeri algebrici, cioè la chiusura algebrica di Q. Si può dimostrare che allora per ogni G esiste un sopracorpo normale L di A(x) tale che Gal(L:A(x)) è isomorfo a G. 
Sembre invece che non si sappia ancora se ciò si verifica quando sostituiamo A(x) con Q.
Il libro di Matzat è scritto veramente bene, ma la teoria è difficile e richiede un massiccio uso di strumenti e concetti della geometria algebrica e della teoria dei gruppi.

J. DAVENPORT/Y. SIRET/E. TOURNIER: Computer algebra. Academic Press 1988.
H. LÜNEBURG: On the rational normal form of endomorphisms.
    Bibl. Inst. 1987.
R. MINES/F. RICHMAN/W. RUITENBURG: A course in constructive algebra.
    Springer 1988.

Questi libri trattano gli aspetti algoritmici dell'algebra. Contengono parecchia teoria, anche se non danno un quadro completo dell'algebra. In verità sono abbastanza diversi tra di loro. Il libro di Mines/Richman/Ruitenburg è un testo intermedio tra algebra e algebra commutativa, il libro di Lüneburg fornisce moltissimi algoritmi in Pascal ed è un pò troppo variopinto. Anche il titolo non descrive il contenuto. Molto semplice, ma piuttosto utilizzabile come introduzione alla computer algebra è il libro di Davenport/Siret/Tournier. Dà un buon inquadramento generale, introduce ai vari sistemi esistenti per la computer algebra (MACSYMA e REDUCE), parla di semplificazione di polinomi e brevemente di basi di Gröbner, di algoritmi modulari e p-adici, di metodi meccanici utilizzabili al calcolatore per il calcolo di integrali e la risoluzione formale di equazioni differenziali.