6 Strutture ordinate 6 A Trattati generali 6 M Monografie 6 P Raccolte 6 XA Insiemi ordinati 6 XB Reticoli 6 XD Reticoli distributivi 6 XE Algebre di Boole 6 XF Strutture ordinate Un ordine parziale su un insieme R una relazine binaria su R, che riflessiva, transitiva e antisimmetrica. R= (R,) si chiama allora un insieme parzialmente ordinato. Quando per ogni a,bR si ha ab oppure ba, allora si dice un ordine totale ed R si chiama un insieme totalmente ordinato. Con l'aiuto del lemma di Zorn si dimostra facilmente che ogni ordine parziale pu essere esteso ad un ordine totale. Se R finito, ci significa che possiamo numerare gli elementi di R in modo tale, che ad elementi diversi corrisponde un numero diverso, e cos che ab implica che il numero corrispondente ad a minore o uguale a quello che corrisponde a b. R sia un insieme parzialmente ordinato ed a,bR. Se esiste un elemento sR con as e bs tale che per ogni tR con at e bt si abbia st, allora s si chiama il sup di a e b. s allora univocamente determinato e viene denotato con ab. Come verr definito l'inf? Questo, quando esiste, viene denotato con ab. Un'applicazione f:R--->S tra insiemi parzialmente ordinati si dice un (O,ins.parz.ord.), se ab implica fafb. G. BIRKHOFF: Lattice theory. American Math. Soc. 1967. G. GRTZER: General lattice theory. Birkhuser 1978. R. STANLEY: Enumerative combinatorics 1. Wadsworth 1986. Un reticolo un insieme parzialmente ordinato in cui per due elementi a e b esistono sempre ab e ab. Il libro di Grtzer contiene soprattutto la teoria algebrica, mentre nel Birkhoff si trova una miriade di informazioni anche al di fuori della teoria sistematica e moltissime applicazioni. Particolarmente interessante il capitolo sulle applicazioni in logica, calcolo delle probabilit e meccanica quantistica. Il libro di Stanley, che conosciamo gi, oltre alla combinatoria dei reticoli contiene anche molti esempi. Un'applicazione f:R--->S tra reticoli si dice un (O,reticoli), se trasforma il sup di due elementi nel sup delle loro immagini e lo stesso per l'inf. Si vede da esempi molto semplici che non sufficiente che f sia un (O,ins.parz.ord.). Un'applicazione biiettiva per un (ISO,reticoli) se e solo se un (ISO,ins.parz.ord.). Quindi due reticoli sono isomorfi se e solo se i loro diagrammi di Hasse sono isomorfi. Definire da soli, quando due diagrammi di Hasse sono isomorfi. Siete in grado di definire in modo formale cos' un diagramma di Hasse? Il reticolo pi conosciuto l'insieme delle parti di un insieme X, in cui il sup l'unione, l'inf l'intersezione. Molto importante sono il reticolo di tutti i sottogruppi di un gruppo, in cui l'inf l'intersezione, mentre il sup adesso il gruppo generato dall'unione dei due sottogruppi, il reticolo di tutti i sottospazi di uno spazio vettoriale, in cui il sup il sottospazio generato dall'unione dei due sottospazi, mentre l'inf ancora l'intersezione. L'ultimo esempio la geometria proiettiva! F. MAEDA: Kontinuierliche Geometrien. Springer 1958. J. NEUMANN: Continuous geometry. Princeton UP 1960. Il reticolo di tutti i sottospazi di uno spazio vettoriale ha certe propriet formali le quali, opportunamente generalizzate, portano alla nozione di reticolo geometrico. Se lo spazio vettoriale V di partenza ha dimensione finita n, ogni elemento del reticolo che otteniamo, cio ogni sottospazio di V, possiede una dimensione, che deve essere uno dei numeri 0,1,...,n. La dimensione assume quindi valori discreti. John Neumann riusc a generalizzare la situazione a reticoli con propriet simili, i cui elementi possono per avere dimensioni continue, cio dimensioni che assumono ogni valore reale nell'intervallo [0,1]. Si ottengono le cosiddette geometrie continue, che hanno applicazioni in topologia e in meccanica quantistica. E' un argomento poco noto, comunque. Quando ho letto molti anni fa il libro di Neumann, ho imparato la prima volta ad ammirare la grande abilit tecnica di questo matematico, che alternava concetti molto astratti con lunghi conti diretti fatti a mano. Non capivo bene dove voleva arrivare, ma era un buon allenamento. A. MARZOLA: Un approccio intrinseco alla probabilit. Tesi, Ferrara 1987. P. HALMOS: Lectures on Boolean algebras. Van Nostrand 1963. J. MONK/R. BONNET (c.): Handbook of Boolean algebras. 3 volumi. North-Holland 1989. R. SIKORSKI: Boolean algebras. Springer 1964. D. VLADIMIROV: Boolesche Algebren. Akademie-Verlag 1978. Un reticolo in cui valgono le relazioni (ab)c=(ac)(bc) e (ab)c=(ac)(bc) si dice distributivo. Un reticolo distributivo R in cui esistono due elementi 0 ed 1 tali che 0a1 per ogni aR, e per ogni aR esiste un complemento, cio un elemento c tale che ac=1, ac=0, si chiama un'algebra di Boole. L'insieme delle parti P(X) di un insieme X un'algebra di Boole; in questo caso 1 l'insieme X, 0 l'insieme vuoto, il complemento il comune complemento insiemistico. Per un teorema di Marshall Stone, ogni algebra di Boole sottoalgebra di Boole di un P(X). Definire il concetto "sottoalgebra di Boole". R sia un'algebra di Boole. Se per a,bR definiamo a+b:=(ab')(ba'), dove a' il complemento di a, ed ab:=ab, allora R diventa un anello commutativo tale che a2=a per ogni a. Un tale anello si dice un anello di Boole. Viceversa, se in un anello di Boole definiamo ab:=a+b-ab, ab:=ab, otteniamo un'algebra di Boole. In questo senso, algebre di Boole ed anelli di Boole sono la stessa cosa. George Boole ha cercato di descrivere la logica mediante le algebre che portano il suo nome. Leggere nel Bottazzini, a pag. 158-165. I logici sostengono che non si arriva lontani su questa strada. Uno che ci ha riprovato, stato il nostro Paul Halmos. Ne parla nel suo libro "I want to be a mathematician", a pag. 202-216. Prima del Handbook il trattato di riferimento per le algebre di Boole era il libro di Sikorski, in cui si trova anche molto materiale sulle sigma-algebre, algebre di Boole cio in cui sup ed inf esistono non solo per due elementi, ma per ogni famiglia numerabile di elementi. Definire sup ed inf in questo caso generale. Il libro di Vladimirov si occupa soprattutto delle applicazioni delle algebre di Boole nell'analisi e nel calcolo delle probabilit. Il calcolo delle probabilit nell'ambito delle sigma-algebre anche il tema della tesi di Alessandra Marzola. "We cannot find sufficient words to thank the editors of this unique enterprise for the marvelous work they have done; one leafs through the pages of these volumes with steady enthusiasm not unmixed with the joy of reliving one's favored mathematical moments." Cos giudica Giancarlo Rota i tre volumi del Handbook of Boolean algebras. Li terr vicini al letto e li legger nelle gelide notti d'inverno quando i nemici della matematica rumoreggiano attorno alla casa. Sembra per che a decidere il prezzo siano stati proprio i nemici della matematica: vendono l'opera a 1000 Lire/pagina, 1.200.000 Lire in tutto. Il primo volume un'esposizione della teoria generale delle algebre di Boole, scritta da Sabine Koppelberg, il secondo volume contiene capitoli specialistici, il terzo volume, di 600 pagine, dedicato a classi particolari di algebre di Boole ed ai legami tra algebre di Boole e logica che, come vediamo, sono ancora molto attuali. L. FUCHS: Partially ordered algebraic systems. Pergamon 1963. B. VULIKH: Introduction to the theory of partially ordered spaces. Noordhoff 1967. Se un insieme parzialmente ordinato allo stesso tempo un semigruppo, gruppo, corpo, spazio vettoriale, in modo tale che le operazioni algebriche sono compatibili con il quasiordine, parleremo di una struttura algebrica parzialmente ordinata. 8 Algebra universale 8 A Trattati generali 8 M Monografie 8 P Raccolte 8 XA Algebra universale 8 XB Variet di algebre generali 8 XC Classi di algebre generali A. BOZZINI: Concetti di algebra generale e di programmazione. Tesi, Ferrara 1989. S. BURRIS/H. SANKAPPANAVAR: A course in universal algebra. Springer 1981. P. COHN: Universal algebra. Harper 1965. G. GRTZER: Universal algebra. Van Nostrand 1968. T. IHRINGER: Allgemeine Algebra. Teubner 1988. R. MCKENZIE/G. MCNULTY/W. TAYLOR: Algebras, lattices, varieties. Wadsworth 1987. Un'algebra generale un insieme su cui sono definite una o pi operazioni, ognuna delle quali pu avere un numero qualsiasi (finito) di argomenti. Ad esempio in un gruppo G abbiamo le operazioni moltiplicazione:GxG--->G, inversa:G--->G, unit:{{}}--->G. In questo caso {} l'insieme vuoto. Nell'ambito delle algebre generali si possono definire i concetti di omomorfismo, congruenza, sottoalgebra, sottoalgebra generato da un insieme, prodotto diretto ecc., e si ottengono teoremi astratti che valgono per tutte le algebre generali. Un tipico esempio la proposizione che l'intersezione di sottoalgebre sempre una sottoalgebra, e che l'unione di una catena di sottoalgebre ancora una sottoalgebra. La teoria delle algebre generali si chiama algebra generale o algebra universale. Il concetto di algebra generale (come quello di algebra) ha quindi due significati: Denota una classe di oggetti matematici, ma anche la disciplina che si occupa dello studio di questi oggetti. La teoria dei reticoli rientra in due modi: Da un lato i reticoli sono una speciale classe di algebre generali (con le operazioni e ), dall'altro lato le sottoalgebre di un'algebra generale e le congruenze dell'algebra formano reticoli, la cui struttura pu dare alcune importanti informazioni sulla struttura dell'algebra stessa. Chiaro, ma abbastanza avanzato il libro di Ihringer, che espone anche la moderna teoria di McKenzie per le algebre generali finite. Il Cohn contiene tutto quello che il nonspecialista deve sapere, in una trattazione paziente e varia. D. HOBBY/R. MCKENZIE: The structure of finite algebras. AMS 1988. Ralph McKenzie ha sviluppato, attorno al 1980, una teoria delle algebre generali finite basata sullo studio del reticolo delle congruenze di quest'algebra. Un'introduzione si trova anche nel libro di Ihringer. Sembra che sia importante.