4 Teoria degli insiemi 4 A Trattati generali 4 AE Esposizioni elementari 4 E Esercizi 4 M Monografie 4 P Raccolte A. ABIAN: The theory of sets and transfinite arithmetic. Saunders 1965. J. BARWISE (c.): Handbook of mathematical logic. North-Holland 1977. F. DRAKE: Set theory. North-Holland 1974. A. FRAENKEL/Y. BAR-HILLEL: Foundations of set theory. North-Holland 1958. S. HAYDEN/J. KENNISON: Zermelo-Fraenkel set theory. Merrill 1968. K. KURATOWSKI/A. MOSTOWSKI: Set theory. North-Holland 1968. J. MALITZ: Introduction to mathematical logic. Springer 1979. J. MONK: Introduzione alla teoria degli insiemi. Boringhieri 1972. W. SIERPINSKI: Cardinal and ordinal numbers. Varsavia 1958. La teoria degli insiemi stata creata da Georg Cantor (1845-1918). Diciamo che due insiemi hanno la stessa cardinalit, se esiste una biiezione tra essi. Dati due insiemi X ed Y, si pu dimostrare - ma non facile - che uno dei due ha la stessa cardinalit come un sottoinsieme dell'altro. Per andare avanti abbiamo bisogno di definire il concetto di numero ordinale. Un buon ordine su un insieme X un ordine totale su X, tale che ogni sottoinsieme non vuoto A di X possiede un elemento pi piccolo. Un numero ordinale un insieme N che possiede un buon ordine tale che ogni elemento A di N un insieme uguale all'insieme degli elementi di N che lo precedono rispetto a , cio tale che A = {B N | B < A}. Si definisce adesso cosa vuole dire che un numero ordinale minore o uguale ad un altro, e si dimostra che per ogni insieme X esiste un numero ordinale N, che ha la stessa cardinalit di X ed il pi piccolo numero ordinale con questa propriet. N si chiama la cardinalit di X, e viene denotato con card X. Per dimostrare l'esistenza di N si usa l'assioma della scelta, senza il quale l'insiemistica diventa un'autentica giungla in cui non si orienta nessuno. Un numero cardinale un numero ordinale della forma N = card X per qualche insieme X. Il pi piccolo numero cardinale infinito N, l'insieme dei numeri naturali. Per definizione, N anche un numero ordinale, ma si possono anche definire numeri ordinale N + 1, N + 2, ..., tutti diversi, e questi non sono pi numeri cardinali. I numeri ordinali infiniti (quindi in particolare i numeri cardinali infiniti) si chiamano anche numeri transfiniti. Per questi numeri si possono introdurre alcune operazioni aritmetiche: Ad esempio la somma di due numeri cardinali a e b si definisce cos: Prima si dimostra che si possono trovare insiemi X ed Y disgiunti tali che a = card X, b = card Y. Poi si definisce a+b:=card(XY). Per il prodotto si usa la cardinalit del prodotto cartesiano, ecc. Bisogna distinguere l'addizione nell'ambito dei numeri cardinali dalla formazione di N + 1, che si esegue nell'ambito dei numeri ordinali. La somma dei cardinali N e 1 N, perch chiaro che aggiungendo un elemento solo ad N si ottiene un insieme della stessa cardinalit. Come si trova una biiezione? Tutto ci ben spiegato nel libro di Hayden/Kennison, che facile da leggere e contiene anche molti esercizi. Dovrebbe essere letto prima di ogni altro testo di insiemistica. Il trattato del Sierpinski molto concreto, tratta in dettaglio l'aritmetica dei numeri transfiniti e l'assioma della scelta, discute curve continue che riempiono il piano e le stranissime conseguenze dell'assioma della scelta. Nonostante la mole, si legge facilmente. Molto pi avanzato, ma non inaccessibile il libro del Drake. Pu essere usato anche come un ottimo allenamento nell'uso dei quantificatori e degli altri simboli della logica e della teoria degli insiemi. Conciso, ma molto chiaro, nelle parti formali, d spesso delle ottime motivazioni. Precisa e piacevole la notazione. Piano di studio per un'estate ascetica dedicata alla teoria degli insiemi: 1. Hayden/Kennison 2. Sierpinski (le cose pi interessanti) 3. Drake (dall'inizio, fin dove si arriva). J. LEWIN: A simple proof of Zorn's lemma. Am. Math. Monthly 98 (1991), 353-354. H. RUBIN/J. RUBIN: Equivalents of the axiom of choice. North-Holland 1963. Il lemma di Zorn e l'assioma della scelta sono equivalenti: Bell/Slomson, pag.4; dimostrazioni in Rubin/Rubin. L'articolo di Lewin d una nuova breve dimostrazione dell'implicazione Zorn => scelta. K. KUNEN: Set theory. North-Holland 1983. L'ipotesi del continuo uno dei problemi aperti pi importanti nella teoria degli insiemi. Essa afferma che ogni sottoinsieme di R (l'insieme dei numeri reali) o finito, o numerabile (cio ha la cardinalit di N, l'insieme dei numeri naturali), o ha la stessa cardinalit di R, che poi, come si impara in analisi, coincide con quella di P(N), l'insieme delle parti di N. David Hilbert (1862-1943) pose al Congresso Matematico Internazionale del 1900 a Parigi 23 problemi aperti, a grande respiro, che influenzarono fortemente la ricerca matematica nel 20 secolo. Il 1 problema di Hilbert fu proprio l'ipotesi del continuo. Nella teoria degli insiemi si usa spesso il simbolo o per indicare il numero cardinale N. Si pu poi dimostrare che esiste un pi piccolo numero cardinale tra quelli pi grandi di o, che viene denotato con 1. L'ipotesi del continuo assume perci che 1 equivalente a R, o, come si scrive in teoria degli insiemi, che 1 = 2o. si legge "alef", la prima lettera dell'alfabeto ebraico; quindi o "alef zero", ecc. Una brevissima esposizione dei concetti dell'aritmetica transfinita si trova sulle prime pagine del Bell/Slomson. L'insiemistica comunemente usata oggi dai matematici la teoria di Zermelo/Fraenkel con l'aggiunta dell'assioma della scelta. Nel 1940 Kurt Gdel dimostr che, se la teoria di Zermelo/Fraenkel libera da contraddizioni, allora anche la teoria che si ottiene aggiungendo l'ipotesi del continuo libera da contraddizioni, e nel 1963 Paul Cohen dimostr che si pu anche aggiungere invece il contrario dell'ipotesi del continuo, cio che, usando anche la parte dimostrata da Gdel, l'ipotesi del continuo indipendente dalla teoria di Zermelo/Fraenkel, mentre niente cambia se si aggiunge l'assioma della scelta. Per questo risultato Cohen ricevette la medaglia Fields. Il libro di Kunen espone i teoremi di Gdel e di Cohen. E' difficile. Alcune delle riviste matematiche pi importanti Annals of Mathematics Advances in Mathematics American Journal of Mathematics Bulletin of the AMS Inventiones mathematicae L'Enseignement mathmatique Mathematische Annalen Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics Russian Mathematical Surveys Transactions of the American Mathematical Society Annali dell'Universit di Ferrara Notiziario dell'UMI Rendiconti del Seminario Matematico di Padova Acta arithmetica Journal of Algebra Journal of Combinatorial Theory (A+B) Journal of Differential Equations Journal of Differential Geometry Journal of Partial Differential Equations Topology Topology and its applications Communications in Mathematical Physics Journal of Mathematical Physics Computer aided Geometric Design Parallel computing SIAM Review Bulletin of Mathematical Biology Journal of Mathematical Biology Journal of Theoretical Biology Archive for History of exact sciences Mathematical Intelligencer Notices of the AMS American Mathematical Monthly. La rivista pi prestigiosa Annals of Mathematics. Una rivista per tutti l'American Mathematical Monthly, in cui si trovano anche molte recensioni di libri. Interessanti brevi valutazioni personali di libri recenti scritte da Giancarlo Rota si trovano alla fine di quasi ogni numero di Advances of Mathematics.