4 Teoria degli insiemi

4 A  Trattati generali
4 AE Esposizioni elementari
4 E  Esercizi
4 M  Monografie
4 P  Raccolte


A. ABIAN: The theory of sets and transfinite arithmetic. Saunders 1965.
J. BARWISE (c.): Handbook of mathematical logic. North-Holland 1977.
F. DRAKE: Set theory. North-Holland 1974.
A. FRAENKEL/Y. BAR-HILLEL: Foundations of set theory. North-Holland 1958.
S. HAYDEN/J. KENNISON: Zermelo-Fraenkel set theory. Merrill 1968.
K. KURATOWSKI/A. MOSTOWSKI: Set theory. North-Holland 1968.
J. MALITZ: Introduction to mathematical logic. Springer 1979.
J. MONK: Introduzione alla teoria degli insiemi. Boringhieri 1972.
W. SIERPINSKI: Cardinal and ordinal numbers. Varsavia 1958.

La teoria degli insiemi è stata creata da Georg Cantor (1845-1918).
Diciamo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, se esiste una biiezione tra
essi. Dati due insiemi X ed Y, si può dimostrare - ma non è facile - che uno dei
due ha la stessa cardinalità come un sottoinsieme dell'altro. Per andare avanti
abbiamo bisogno di definire il concetto di numero ordinale. Un buon ordine su un
insieme X è un ordine totale ≤ su X, tale che ogni sottoinsieme non vuoto A di X
possiede un elemento più piccolo. Un numero ordinale è un insieme N che possiede
un buon ordine ≤ tale che ogni elemento A di N è un insieme uguale all'insieme
degli elementi di N che lo precedono rispetto a ≤, cioè tale che A = {B Œ N | B
< A}. Si definisce adesso cosa vuole dire che un numero ordinale è minore o
uguale ad un altro, e si dimostra che per ogni insieme X esiste un numero
ordinale N, che ha la stessa cardinalità di X ed è il più piccolo numero
ordinale con questa proprietà. N si chiama la cardinalità di X, e viene denotato
con card X. Per dimostrare l'esistenza di N si usa l'assioma della scelta, senza
il quale l'insiemistica diventa un'autentica giungla in cui non si orienta
nessuno.
Un numero cardinale è un numero ordinale della forma N = card X per qualche
insieme X. Il più piccolo numero cardinale infinito è N, l'insieme dei numeri
naturali. Per definizione, N è anche un numero ordinale, ma si possono anche
definire numeri ordinale N + 1, N + 2, ..., tutti diversi, e questi non sono più
numeri cardinali.
I numeri ordinali infiniti (quindi in particolare i numeri cardinali infiniti)
si chiamano anche numeri transfiniti. Per questi numeri si possono introdurre
alcune operazioni aritmetiche: Ad esempio la somma di due numeri cardinali a e b
si definisce così: Prima si dimostra che si possono trovare insiemi X ed Y
disgiunti tali che a = card X, b = card Y. Poi si definisce
a + b := card (X » Y). Per il prodotto si usa la cardinalità del prodotto
cartesiano, ecc. Bisogna distinguere l'addizione nell'ambito dei numeri
cardinali dalla formazione di N + 1, che si esegue nell'ambito dei numeri
ordinali. La somma dei cardinali N e 1 è N, perché è chiaro che aggiungendo un
elemento solo ad N si ottiene un insieme della stessa cardinalità. Come si trova
una biiezione? 
Tutto ciò è ben spiegato nel libro di Hayden/Kennison, che è facile da leggere e
contiene anche molti esercizi. Dovrebbe essere letto prima di ogni altro testo
di insiemistica.

Il trattato del Sierpinski è molto concreto, tratta in dettaglio l'aritmetica
dei numeri transfiniti e l'assioma della scelta, discute curve continue che
riempiono il piano e le stranissime conseguenze dell'assioma della scelta.
Nonostante la mole, si legge facilmente.

Molto più avanzato, ma non inaccessibile è il libro del Drake. Può essere usato
anche come un ottimo allenamento nell'uso dei quantificatori e degli altri
simboli della logica e della teoria degli insiemi. Conciso, ma molto chiaro,
nelle parti formali, dà spesso delle ottime motivazioni. Precisa e piacevole la
notazione. Piano di studio per un'estate ascetica dedicata alla teoria degli
insiemi:

    1. Hayden/Kennison
    2. Sierpinski (le cose più interessanti)
    3. Drake (dall'inizio, fin dove si arriva).

J. LEWIN: A simple proof of Zorn's lemma. 
    Am. Math. Monthly 98 (1991), 353-354.
H. RUBIN/J. RUBIN: Equivalents of the axiom of choice. North-Holland 1963.

Il lemma di Zorn e l'assioma della scelta sono equivalenti: Bell/Slomson, pag.4;
dimostrazioni in Rubin/Rubin. L'articolo di Lewin dà una nuova breve
dimostrazione dell'implicazione Zorn => scelta.

K. KUNEN: Set theory. North-Holland 1983.

L'ipotesi del continuo è uno dei problemi aperti più importanti nella teoria
degli insiemi. Essa afferma che ogni sottoinsieme di R (l'insieme dei numeri
reali) o è finito, o è numerabile (cioè ha la cardinalità di N, l'insieme dei
numeri naturali), o ha la stessa cardinalità di R, che poi, come si impara in
analisi, coincide con quella di P(N), l'insieme delle parti di N.
David Hilbert (1862-1943) pose al Congresso Matematico Internazionale del 1900 a
Parigi 23 problemi aperti, a grande respiro, che influenzarono fortemente la
ricerca matematica nel 20° secolo. Il 1° problema di Hilbert fu proprio
l'ipotesi del continuo.

Nella teoria degli insiemi si usa spesso il simbolo ¿o per indicare il numero
cardinale N. Si può poi dimostrare che esiste un più piccolo numero cardinale
tra quelli più grandi di ¿o, che viene denotato con ¿1. L'ipotesi del continuo
assume perciò che ¿1 è equivalente a R, o, come si scrive in teoria degli
insiemi, che ¿1 = 2¿o. ¿ si legge "alef", è la prima lettera dell'alfabeto
ebraico; quindi ¿o è "alef zero", ecc.
Una brevissima esposizione dei concetti dell'aritmetica transfinita si trova
sulle prime pagine del Bell/Slomson.

L'insiemistica comunemente usata oggi dai matematici è la teoria di
Zermelo/Fraenkel con l'aggiunta dell'assioma della scelta. Nel 1940 Kurt Gödel
dimostrò che, se la teoria di Zermelo/Fraenkel è libera da contraddizioni,
allora anche la teoria che si ottiene aggiungendo l'ipotesi del continuo è
libera da contraddizioni, e nel 1963 Paul Cohen dimostrò che si può anche
aggiungere invece il contrario dell'ipotesi del continuo, cioè che, usando anche
la parte dimostrata da Gödel, l'ipotesi del continuo è indipendente dalla teoria
di Zermelo/Fraenkel, mentre niente cambia se si aggiunge l'assioma della scelta.
Per questo risultato Cohen ricevette la medaglia Fields.
Il libro di Kunen espone i teoremi di Gödel e di Cohen. E' difficile.

Alcune delle riviste matematiche più importanti

Annals of Mathematics

Advances in Mathematics
American Journal of Mathematics
Bulletin of the AMS
Inventiones mathematicae
L'Enseignement mathématique
Mathematische Annalen
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
Russian Mathematical Surveys
Transactions of the American Mathematical Society

Annali dell'Università di Ferrara
Notiziario dell'UMI
Rendiconti del Seminario Matematico di Padova

Acta arithmetica
Journal of Algebra
Journal of Combinatorial Theory (A+B)
Journal of Differential Equations
Journal of Differential Geometry
Journal of Partial Differential Equations
Topology
Topology and its applications

Communications in Mathematical Physics
Journal of Mathematical Physics

Computer aided Geometric Design
Parallel computing
SIAM Review

Bulletin of Mathematical Biology
Journal of Mathematical Biology
Journal of Theoretical Biology

Archive for History of exact sciences

Mathematical Intelligencer
Notices of the AMS
American Mathematical Monthly.

La rivista più prestigiosa è Annals of Mathematics.
Una rivista per tutti è l'American Mathematical Monthly, in cui si trovano anche
molte recensioni di libri. 
Interessanti brevi valutazioni personali di libri recenti scritte da Giancarlo
Rota si trovano alla fine di quasi ogni numero di Advances of Mathematics.