11 Teoria dei numeri

11 A  Trattati generali
11 AE Esposizioni elementari
11 M  Monografie
11 N  Aspetti numerici, algoritmi
11 P  Raccolte
11 T  Tavole
11 X  Bibliografie
11 XA Teoria elementare dei numeri
11 XB Successioni ed insiemi di numeri naturali
11 XC Polinomi e matrici
11 XD Equazioni diofantee
11 XE Forme quadratiche e gruppi lineari algebrici
11 XF Grupppi discontinui e forme automorfe
11 XG Geometria algebrica aritmetica
11 XH Geometria dei numeri
11 XJ Approssimazine diofantea, numeri trascendenti
11 XK Teoria probabilistica dei numeri
11 XL Somme esponenziali
11 XM Funzioni zeta e serie di Dirichlet
11 XN Numeri primi e teoria moltiplicativa dei numeri
11 XP Teoria additiva dei numeri
11 XR Teoria algebrica globale dei numeri
11 XS Teoria algebrica locale dei numeri
11 XT Teoria dei numeri dei corpi finiti


R. GUY: Unsolved problems in number theory. Springer 1981.

Esistono infiniti primi gemelli? cio primi p per cui anche p+2  primo?
Esistono infiniti primi della forma a2+1 ? della forma n!+1 ? n!-1 ?
Esistono infiniti primi della forma 2q-1 ? Esistono infiniti primi tra i numeri di Fibonacci? Un numero naturale si dice perfetto, se  uguale alla somma dei suoi divisori (positivi) diversi da se stesso. Ad esempio 6=1+2+3 e 28=1+2+4+7+14 sono numeri perfetti. Esistono infiniti numeri perfetti? Esiste almeno un numero perfetto dispari? E' vero che ogni numero pariʳÊ4  somma di due primi? Questa  la congettura di Goldbach (1690-1764), una delle pi famose congetture irrisolte della teoria dei numeri. La pi famosa  la congettura di Fermat, che abbiamo giˆ visto nella prima lezione. Migliaia di altri problemi non risolti si trovano nel libro di Guy.

J. LAGARIAS: The 3x+1 problem and its generalizations. 
    American Math. Monthly 92 (1985), 3-23.
J. LAGARIAS: The set of rational cycles for the 3x+1 problem.
    Acta Arithmetica 56 (1990), 33-53.
J. SANDER: On the (3N+1)-conjecture. Acta Arithmetica 55 (1990), 241-248.

La congettura pi buffa  quella del 3x+1. Si trova nel Guy come problema E16. Partiamo con un numero naturale x³2 qualsiasi. Se  pari, lo dividiamo per 2, altrimenti lo sostituiamo con 3x+1. La stessa cosa facciamo con il nuovo numero. Esempio: 7®22®11®34®17®52®26®13®40®20®10®5®16®8®4®2®1. 
Sembra che alla fine venga sempre fuori 1. Ma nessuno riesce a dimostrarlo.


T. APOSTOL: Introduction to analytic number theory. Springer 1986.
P. BUNDSCHUH: EinfŸhrung in die Zahlentheorie. Springer 1988.
G. HARDY/E. WRIGHT: An introduction to the theory of numbers.
    Oxford UP 1988.
H. HASSE: Vorlesungen Ÿber Zahlentheorie. Springer 1964.
L.K. HUA: Introduction to number theory. Springer 1982.
K. IRELAND/M. ROSEN: A classical introduction to modern number theory.
    Springer 1982.
E. KR€TZEL: Zahlentheorie. VEB Verlag der Wissenschaften 1981.
E. LANDAU: Vorlesungen Ÿber Zahlentheorie. 3 volumi. Hirzel 1927.
R. REMMERT/P. ULLRICH: Elementare Zahlentheorie. BirkhŠuser 1987.
H. SCHEID: Zahlentheorie. Bibl. Institut 1991.

I trattati pi completi e allo stesso tempo pi leggibili sulla teoria dei numeri sono i libri di Apostol e di Scheid. Per chi conosce il tedesco, il testo di Scheid  un'introduzione ideale, e allo stesso tempo un libro di lavoro con molti esercizi. Si legge con molta facilitˆ. Nonostante la fama di Enrico Bombieri, in Italia la teoria dei numeri non  molto amata. Eppure i migliori matematici di tutti i tempi, anche di oggi, l'hanno sempre preferita. Gau§ la chiamava la regina della matematica. I campi pi importanti della teoria dei numeri sono la distribuzione dei primi, le equazioni diofantee, e la teoria additiva dei numeri. Un tipico problema della teoria additiva dei numeri  la congettura di Goldbach, che abbiamo visto sopra. Equazioni diofantee sono equazioni, in cui si cercano soluzioni intere. Giˆ le equazioni diofantee quadratiche sono difficili, ad esempio: dato a, per quali m  risolubile la congruenza (x2=a, in Z/m) ? La risposta  fornita da una parte importante della teoria dei numeri, la teoria dei resti quadratici, in cui si dimostra l'esistenza di un algoritmo affascinante, la legge di reciprocitˆ quadratica.
L'ottimo libro di Bundschuh contiene anche un capitolo introduttivo alla difficile teoria della trascendenza, cio alle tecniche per dimostrare che un dato numero reale  trascendente, cio che non esiste un polinomioÊ­Ê0 con coefficienti interi che lo annulla. La difficoltˆ di questa disciplina pu˜ essere valutata dal fatto che soltanto alla fine del secolo scorso si riusc“ a dimostrare la trascendenza di e e di ¹, mentre ancora oggi nessuno  capace a dimostrare che e+¹ sia trascendente.
Per molti anni il testo pi usato di teoria dei numeri era il Hardy/Wright, un libro molto bello, a passo lesto, che sarebbe pi facile da leggere se non usasse la notazione densa e poco sistematica tipica di molti libri inglesi.
Nel Hua si trovano molti dettagli e dimostrazioni elementari altrimenti difficilmente reperibili. Il libro di Ireland/Rosen  il pi difficile di questo gruppo e conduce giˆ alla teoria algebrica dei numeri. Un libro molto utile  il KrŠtzel, perchŽ  breve e contiene talvolta dimostrazioni abili di risultati difficili. Vi si trova anche la dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi e un'introduzione alla geometria dei numeri. Helmut Hasse (1898-1979)  stato uno dei pi profondi pensatori sulla teoria dei numeri.

L. DICKSON: History of the theory of numbers. 3 volumi. Chelsea 1971.
O. ORE: Number theory and its history. Dover 1988.
W. SCHARLAU/H. OPOLKA: Von Fermat bis Minkowski. Springer 1980.
A. WEIL: Number theory. BirkhŠuser 1984.

La History del Dickson  un libro piuttosto vecchio, l'originale apparve attorno al 1920. Non  un trattato sistematico di storia della teoria dei numeri, ma piuttosto una raccolta di appunti storici. Si trovano naturalmente molti esempi, mentre la teoria e i metodi sono praticamente inesistenti. In fondo abbastanza simile  il libro di AndrŽ Weil. Non so se abbia molto senso scrivere sulla matematica del passato nello stile del passato. Un'introduzione elementare, ma piacevole alla storia della teoria dei numeri e ai suoi problemi  data nel libro di Ore. Per chi, insieme alla storia, vuole imparare anche la matematica, preferirˆ a questi tre il libro di Scharlau/Opolka. Ogni capitolo  dedicato a un grande matematico, di cui vengono descritte le opere che riguardano la teoria dei numeri con brevi annotazioni biografiche: Fermat (1601-1665), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Legendre (1752-1833), Gau§ (1777-1855), Fourier (1768-1830), Dirichlet (1805-1859), Minkowski (1864-1909).

M. SCHROEDER: Number theory in science and communication. Springer 1986.

La teoria dei numeri viene spesso considerata come una disciplina esoterica e inutile. Ma non  cos“: I numeri interi ci sono dappertutto. Ogni intero n si trasforma in un'oscillazione, se consideriamo la funzione VARxÊeinx, i numeri di Fibonacci li troviamo in molti fenomeni naturali come abbiamo giˆ visto, una qualsiasi applicazione f di un insieme in se stesso conduce allo studio dell'insieme {fn | nÎN} delle sue iterazioni, e qui spesso si ritrovano legami con la teoria dei numeri, che cos“ pu˜ essere applicata ai sistemi dinamici, ad esempio ai cosiddetti frattali, il teorema cinese dei resti permette di spezzare conti con numeri molto grandi in conti con numeri piccoli, la generazione di numeri casuali, molto importante nella simulazione probabilistica e in alcuni algoritmi di ricerca, si basa su tecniche della teoria dei numeri, molti sono i legami con la teoria dei codici, i numeri p-adici possono essere usati in calcoli senza errore, in tecniche cioŽ in cui si cerca di eliminare gli errori numerici, la teoria delle  partizioni, che abbiamo discusso giˆ nel calcolo combinatorio,  una parte della teoria dei numeri. Chissˆ se non si troveranno prima o poi anche applicazioni in genetica. 
Manfred Schroeder, nato nel 1926, professore di fisica e ingegnere acustico, ha scritto questo libro di facile lettura e pieno di informazioni.

A. BAK: K-theory of forms. Princeton UP 1981.
A. HAHN/O. O'MEARA: The classical groups and K-theory. Springer 1989.
M. KNEBUSCH/C. SCHEIDERER: EinfŸhrung in die reelle Algebra. Vieweg 1989.
M. KNUS: Quadratic and hermitian forms over rings. Springer 1991.
J. MILNOR/D. HUSEMOLLER: Symmetric bilinear forms. Springer 1973.
O. O'MEARA: Introduction to quadratic forms. Springer 1973.
W. SCHARLAU: Quadratic and hermitian forms. Springer 1985.

Per specialisti. L'O'Meara  comunque molto leggibile e contiene anche un'introduzione alla teoria algebrica dei numeri. La teoria delle forme quadratiche ha applicazioni in teoria dei numeri, geometria differenziale, fisica matematica, geometria algebrica reale. Per ogni forma quadratica  importante anche il gruppo ortogonale associato, cio il gruppo di tutte le trasformazioni che lasciano la forma invariante, quindi entrano in campo anche i gruppi algebrici.

T. APOSTOL: Modular functions and Dirichlet series in number theory.
    Springer 1976.
E. FREITAG: Siegelsche Modulfunktionen. Springer 1983.
E. FREITAG: Hilbert modular forms. Springer 19
R. GUNNING: Lectures on modular forms. Princeton UP 1962.
N. KOBLITZ: Introduction to elliptic curves and modular forms.
    Springer 1984.
S. LANG: Elliptic functions. Springer 1987.
S. LANG: Introduction to modular forms. Springer 1976.
G. MACKEY: Unitary group representations in physics, probability,
    and number theory. Benjamin 1978 (cfr. pag. 328-339 e 354-394).
G. MACKEY: Harmonic analysis as the exploitation of symmetry -
    a historical survey. Bull. AMS 3 (1980), 543-698 
    (cfr. pag. 576-581, 675-694).
T. MIYAKE: Modular forms. Springer 1989.
H. PETERSSON: Modulfunktionen und quadratische Formen. Springer 1982.
B. SCHOENEBERG: Elliptic modular functions. Springer 1974.
B. SCHOENEBERG: Erich Hecke 1887-1947. 
    Jahresberichte DMV 91 (1989), 168-190.
J. SERRE: A course in arithmetic. Springer 1973.
G. SHIMURA: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions.
    Princeto UP 1971.

Carl Siegel (1896-1981) e Erich Hecke (1887-1947) hanno scoperto legami tra il numero delle rappresentazioni di un numero come somma di quadrati e le funzioni modulari, una classe di funzioni legate a loro volta alle funzioni ellittiche. Dove si capisce meglio di che si tratta, sono i lavori di Mackey, due miniere di matematica. I primi conti si trovano nell'ottavo capitolo del libro di Hua, indicato prima. La teoria delle funzioni modulari  comunque uno dei campi pi difficili della matematica. Particolarmente spietato Hans Petersson. Il libro di Miyake  nuovo e forse il migliore.
Vedere teoria additiva.

G. CORNELL/J. SILVERMAN (c.): Arithmetic geometry. Springer 1986.
H. EDWARDS: Fermat's last theorem. Springer 1977.
G. FALTINGS/G. W†STHOLZ (c.): Rational points. Vieweg 1986.
N. KOBLITZ (c.): Number theory related to Fermat's last theorem.
    BirkhŠuser 1982.
S. LANG: Old and new conjectured diophantine inequalities.
    Bull. AMS 23 (1990), 37-75.
S. LANG: Fundamentals of diophantine geometry. Springer 1983.
S. LANG: Introduction to complex hyperbolic spaces. Springer 1987.
P. VOJTA: Diophantine approximations and value distribution theory.
    Springer Lecture Notes Math. 1239 (1987).

L'equazione di Fermat xn+yn=zn, dopo divisione per z,  equivalente all'equazione xn+yn=1 su Q, quindi l'insieme delle soluzioni diventa una curva nel Q2. Possiamo quindi tentare di applicare le tecniche della geometria algebrica, ma tutto  molto complicato dal fatto che Q non  un corpo algebricamente chiuso. La geometria algebrica aritmetica si chiama anche geometria diofantea. Faltings, nella sua dimostrazione della congettura di Mordell che gli valse la medaglia Fields (questa risultato implica, come abbiamo giˆ menzionato, che per ogni n fissato l'equazione xn+yn=zn possiede solo un numero finito di soluzioni non banali con (x,y,z)=1), utilizza fortemente le tecniche della geometria algebrica moderna e ci˜ ha dato un forte impulso a questa disciplina, che era stata considerata poco utile nella pratica delle equazioni diofantee. Attualmente si sta esagerando forse un p˜ troppo nella direzione astratta. D'altra parte le equazioni diofantee sembrano talmente inattaccabili che l'unico ambiente in cui si riesce veramente a costruire qualcosa come una teoria  proprio la geometria diofantea.