J. CASSELS: An introduction to the geometry of numbers. Springer 1959. J.H. CONWAY/N. SLOANE: Sphere packings, lattices and groups. Springer 1988. F. FRICKER: Einfhrung in die Gitterpunktlehre. Birkhuser 1982. P. GRUBER/C. LEKKERKERKER: Geometry of numbers. North-Holland 1987. E. HLAWKA: 90 Jahre Geometrie der Zahlen. Selecta E. Hlawka, 398-430. H. MINKOWSKI: Geometrie der Zahlen. Chelsea 1953. H. MINKOWSKI: Diophantische Approximationen. Chelsea 1957. Prendiamo due vettori linearmente indipendenti nel piano reale e tutti i multipli interi di questi due vettori. Questo insieme un reticolo nel piano; un sottogruppo discreto dell'R2. In modo analogo si definiscono reticoli nell'Rn. In teoria dei numeri reticolo significa sempre questo. E' chiaro che cos' una base di un reticolo; ne esistono sempre pi di una, ma se formiamo poi per ogni base il suo parallelopipedo esso avr sempre lo stesso volume, che si chiama il volume fondamentale del reticolo. Il teorema di Minkowski dice che, dato un reticolo con volume fondamentale v nell'Rn, ogni corpo convesso, che contiene l'origine e con x contiene sempre anche -x, il cui volume 2nv, contiene almeno un puntoʭ0 del reticolo. Minkowski ne deduce importanti teoremi sulle approssimazioni diofantee, cio sull'approssimazione di numeri reale mediante numeri razionali. In contraddizione ai titoli, la sua Geometrie der Zahlen, di cui la prima edizione risale al 1896, contiene pochissime figure, mentre il libro successivo, Diophantische Approximationen, ricco di disegni e pu essere usato per una prima introduzione alla geometria dei numeri. La geometria dei numeri un campo bello e difficile, ma richiede molta pazienza e una buona conoscenza della matematica classica. In Italia mi sembra che sia conosciuta pochissimo, come purtroppo un p tutta la teoria dei numeri. Il libro di Conway/Sloane un'esposizione a livello di ricerca dei numerosi legami tra geometria dei numeri e teoria dei codici. Liber longus, vita brevis. J. KOKSMA: Diophantische Approximationen. Springer 1936. Le approssimazioni diofantee costituiscono un capitolo classico della teoria dei numeri. Potrebbero avere applicazioni in fisica e calcolo numerico. La parte elementare non difficile e molto carina. Imparare le frazioni continue e le approssimazioni diofantee nei libri di Hua o di Hardy/Wright. A. BAKER: Transcendental number theory. Cambridge UP 1979. J. BEZIVIN: A new p-adic method for proving irrationality and transcendence results. Annals of Math. 129 (1989), 151-160. S. LANG: Transcendental numbers and diophantine approximations. Bulletin AMS 77 (1971), 635-677. D. MASSER: Elliptic functions and transcendence. Springer Lecture Notes Math. 437 (1975). P. PHILIPPON: Recensione del libro di Shidlovskii. Jahresberichte DMV 93/4 (1991), B 55-56. A. SHIDLOVSKII: Transcendental numbers. De Gruyter 1989. R. TIJDEMAN: Recensione del libro di Shidlovskii. Bulletin AMS 25 (1991), 445-453. G. WSTHOLZ (c.): Diophantine approximation and transcendence theory. Springer Lecture Notes Math. 1290 (1987). Un'introduzione alla teoria della trascendenza si trova nel Bundschuh, come abbiamo gi detto. La materia difficile e si procede a passi lenti, nonostante i mezzi pesanti che i matematici moderni cercano di usare. Per il nuovo libro di Shidlovskii si potrebbero leggere prima le recensioni di Philippon e di Tijdeman. E. HLAWKA: Theorie der Gleichverteilung. Bibl. Inst. 1979. L.K. HUA/Y. WANG: Applications of number theory to numerical analysis. Springer 1981. L. KUIPERS/H. NIEDERREITER: Uniform distribution of sequences. Wiley 1974. Una successione (v1,v2,v3,...) di numeri reali, presi dall'intervallo semiaperto [0,1) si dice uniformemente distribuita, se per ogni sottointervallo M il quoziente (card {i | 1in con viM})/n converge alla lunghezza di M. Lo studio sistematico di questo concetto venne iniziato da Hermann Weyl, la definizione pu essere generalizzata a pi dimensioni. Una volta che garantito che una successione uniformemente distribuita, essa pu essere utilizzata per il calcolo approssimato di integrali (somme di Riemann). Questo metodo efficace soprattutto per integrali in pi variabili, per i quali altri metodi numerici sono spesso meno efficienti. Anche cos non facile, come mostrano le formule complicate nel Hua/Wang. Altre applicazioni si hanno nella generazione di numeri casuali. M. BEDENDO: La dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. Tesi, Ferrara 1989. H. DAVENPORT: Multiplicative number theory. Springer 1980. W. ELLISON/F. ELLISON: Prime numbers. Wiley 1985. E. LANDAU: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Chelsea 1974. P. MCCARTHY: Arithmetical functions. Springer 1986. H. MONTGOMERY: Topics in multiplicative number theory. Springer Lecture Notes Math. 227 (1986). K. PRACHAR: Primzahlverteilung. Springer 1957. W. SCHWARZ: Einfhrung in Methoden und Ergebnisse der Primzahltheorie. Bibl. Inst. 1969. E. TROST: Primzahlen. Birkhuser 1968. Denotiamo con (x) il numero dei primiʲx. Il teorema dei numeri primi asserisce che il quoziente tra (x) e x/log x tende a 1. Una serie di Dirichlet una serie della forma na(n)/ns. Nella teoria classica si assume che s sia una variabile complessa, e in questo caso bisogna naturalmente usare solo quelle s per cui la serie converge. Si domostra facilmente che una serie di Dirichlet converge su un semipiano destro (che pu essere vuoto o tutto C), quindi si comporta come una serie di potenze con centro in +. Quando s viene considerata come un'indeterminata, si parla di una serie di Dirichlet formale. Il prodotto na(n)/ns.nb(n)/ns=nc(n)/ns ha i coefficienti c(n)=d|na(d)b(n/d), e si vede come entrano in gioco le propriet moltiplicative dei numeri reali. Per questo la teoria delle serie di Dirichlet viene chiamata anche teoria moltiplicativa dei numeri, essa nient'altro che la teoria delle funzioni generatrici adattata alla struttura moltiplicativa dei numeri naturali. La serie z(s)=n1/ns, in cui cio a(n)=1 per ogni n, si chiama funzione zeta, si dimostra che questa serie invertibile nell'ambito delle serie formali di Dirichlet e che la sua inversa la serie nm(n)/ns, dove m la funzione di Mbius, che definita cos: m(n)=0, se esiste un primo p tale che p2|n, m(n)=(-1)k, se n prodotto di k primi distinti, m(1)=1. La notazione diversa da quella che abbiamo usato in calcolo combinatorio, ma si vede subito che ci un caso speciale delle matrici zeta e di Mbius che abbiamo imparato nella terza lezione. Il legame tra la funzione zeta e la distribuzione dei primi fu scoperto gi da Euler: z(s)=Pp1/(1-1/ps) quando Res>1. La dimostrazione del teorema dei numeri primi riusc soltanto nel 1896 a Jacques Hadamard (1865-1963) e Charles Valle-Poussin (1866-1962). Essi usarono le propriet analitiche della funzione zeta. Una dimostrazione "elementare", cio senza uso essenziale della teoria delle funzioni olomorfe, fu trovata solo 50 anni pi tardi da Erds e Selberg. Molto prima Gustav Dirichlet (1805-1859) aveva dimostrato che, se (r,m)=1, allora la progressione aritmetica {r+km | kZ} contiene un numero infinito di primi. Per m=10 ed r=1 vediamo per esempio che esiste un numero infinito di primi la cui ultima cifra nella rappresentazione decimale uguale ad 1. La tesi di Maria Bedendo contiene un'introduzione piuttosto leggibile alle serie formali di Dirichlet, alla dimostrazione analitica e alla dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. All'inizio si trova una parte pi algoritmica che riguarda il calcolo di (x) mediante il crivello di Eratostene. Chi vuole sapere tutto, dovrebbe leggere l'Ellison e i libri sulla funzione zeta che indicheremo adesso. Una tesi con molti algoritmi anche recenti per i numeri primi stata redatta nel 1991 sotto la guida del professor Codec, ma purtroppo non stata consegnata in biblioteca. Ricordarsi:Unacopiadellatesivainbiblioteca! H. EDWARDS: Riemann's zeta function. Academic Press 1974. A. IVIC: The Riemann zeta-function. Wiley 1985. C. MACCHI: Alcune propriet fondamentali della funzione zeta di Riemann. Tesi, Ferrara 1991. S. PATTERSON: An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge UP 1988. La serie che definisce z(s) converge per Res>1, e si pu dimostrare che la funzione z possiede una continuazione analitica su tutto il piano complesso meno il punto s=1. Abbastanza presto ci si accorge che la dimostrazione del teorema dei numeri primi non sarebbe difficile, se si sapesse che tutti gli zeri della z per Res>0 si trovano sulla retta s=1/2 (tesi Bedendo, pag. 124-127). Questo il contenuto della congettura di Riemann, una delle grandi congetture aperte della matematica. Chi ci vuole provare, pu leggere i testi indicati. Il libro di Edwards contiene alla fine una traduzione in inglese del lavoro originale di Bernhard Riemann (1826-1866). D. ZAGIER: Zetafunktionen und quadratische Krper. Springer 1981. Chi s'interessa di teoria dei numeri, dovrebbe leggere questo libro di 140 pagine, che contiene nella prima met un'introduzione molto trasparente alle serie di Dirichlet, nella seconda met un'esposizione del loro uso in quella parte della teoria algebrica dei numeri che studia le forme quadratiche e i corpi quadratici. E. BOMBIERI: Le grand crible dans la thorie analytique des nombres. Astrisque 18 (1987). H. HALBERSTAM/H. RICHERT: Sieve methods. Academic Press 1974. C. HOOLEY: Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge UP 1976. Y. MOTOHASHI: Sieve methods and prime number theory. Tata Institute 1983. Strumenti per uno studio "diretto" della distribuzione dei numeri primi sono i crivelli, generalizzazioni sofisticate del crivello di Eratostene. Un'introduzione facile si trova nel libro di Scheid, indicato in precedenza. In genere il metodo dei crivelli complicato e meno potente dei metodi che usano le propriet analitiche della funzione z, ma nel libro di Motohashi si dimostra che i crivelli possono fornire un contributo molto importante quando vengono combinati con i metodi analitici. P. RIBENBOIM: The book of prime number records. Springer 1988. H. RIESEL: Prime numbers and computer methods for factorization. Birkhuser 1985. Due libri per giocare. Contengono molti esempi, tavole, algoritmi. Gli algoritmi per determinare se un dato numero naturale primo o per trovare la sua fattorizzazione in potenze di primi sono diventati un p di moda, anche perch si sono scoperte applicazioni nella cosiddetta crittografia a chiave pubblica: f(n) denota il numero dei k con 1kn per cui (n,k)=1; si chiama la funzione di Euler. Usando il teorema di Euler/Fermat dell'algebra, si trova un facile metodo di codificare un messaggio in modo tale, che chi vuole decifrare il messaggio deve conoscere il valore f(n) per un certo numero n. Tutti conoscono n (perch serve per la codificazione), ma solo il destinatario conosce f(n), o meglio sa che n=pq, dove p e q sono primi distinti molto grandi, da cui sa anche che f(n)=(p-1)(q-1). Il nemico che ascolta non avr difficolt a venire a sapere n, ma dovr perdere tanto tempo per trovare la fattorizzazione di n come prodotto di p e q, da rendergli in pratica impossibile il decifraggio. Si chiama crittografia a chiave pubblica, perch la chiave di codifica non viene tenuta segreta, ma un uomo solo, il destinatario, sceglie p e q, calcola il prodotto n=pq, informa tutto il mondo sul valore di n, ma non di p e di q, e rimane cos l'unico che riesce a decifrare i messaggi in un tempo ragionevole. Per questa ragione i militari sembra che siano diventati grandi appassionati di teoria dei numeri. E. GROSSWALD: Representations of integers as sums of squares. Springer 1985. H. HALBERSTAM/K. ROTH: Sequences. Springer 1983. L.K. HUA: Additive Primzahltheorie. Verlagsgesellschaft Leipzig 1959. H. OSTMANN: Additive Zahlentheorie. 2 volumi. Springer 1969. Y. WANG (c.): Goldbach conjecture. World Scientific 1984. I segreti pi profondi della teoria dei numeri sono probabilmente celati nella teoria additiva. Ci vuole coraggio e forse qualche nuovo metodo. Le funzioni modulari ellittiche giocano qui il ruolo di funzioni generatrici, ma non riescono a entrare nel guscio di questi problemi. E. ARTIN: Algebraic numbers and functions. Gordon and Breach 1967. Z. BOREVICH/I. SHAFAREVICH: Number theory. Academic Press 1964. J. CASSELS/A. FRHLICH (c.): Algebraic number theory. Academic Press 1967. J. CHAHAL: Topics in number theory. Plenum Press 1988. H. COHN: Advanced number theory. Dover 1980. G. FREY: Elementare Zahlentheorie. Vieweg 1984. G. JANUSZ: Algebraic number fields. Academic Press 1973. S. LANG: Algebraic number theory. Springer 1986. G. MACKEY: Harmonic analysis as the exploitation of symmetry - a historical survey. Bull. AMS 3 (1980), 543-698 (cfr. pag. 640-655). D. MARCUS: Number fields. Springer 1987. W. NARKIEWICZ: Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Springer 1990. E. WEISS: Algebraic number theory. McGraw-Hill 1963. La teoria algebrica dei numeri uno dei campi pi belli della matematica e non nemmeno estremamente difficile. Ha sempre attirato i grandi matematici, ma forse questo ha contribuito un p a farla considerare esoterica e naturalmente anche a rendere difficile la vita a chi voglia intraprendere ricerche in questo campo. E' un campo molto vasto e ha poche applicazioni. Ha potuto dare pochissimo anche alla risoluzione dei problemi classici della teoria dei numeri elencati all'inizio della lezione. Cos il giudizio rimane ambiguo. Sulla bellezza comunque non ci sono dubbi. Uno dei temi pi importanti della teoria dei numeri sono le congruenze. Si studiano quindi gli anelli Z/n, che in primo luogo sono gruppi abeliani finiti, e questo spiega l'intimo legame tra gruppi abeliani finiti e teoria dei numeri. Consideriamo poi l'equazione diofantea x2=5. E' chiaro che nel campo dei numeri complessi C questa equazione possiede una radice a=5, siamo quindi portati a studiare il corpo Q(a). Qui si far uso della teoria di Galois, quindi oltre ai corpi intervengono di nuovo i gruppi. Dei libri indicati si dovrebbe senz'altro leggere per primo il Cohn, uno dei libri matematici pi belli in assoluto. Ma sono belli e abbastanza accessibili tutti, tranne il Cassels/Frhlich, che a livello avanzato ed ha pi il carattere di un compendio. Non conosco il Narkiewicz, che dovrebbe essere un testo molto buono. E. HECKE: Vorlesungen ber die Theorie der algebraischen Zahlen. Chelsea 1948. H. WEYL: Algebraische Zahlentheorie. Bibl. Inst. 1966. Due classici. Soprattutto con il Weyl si perde molto tempo, se lo si sceglie come prima lettura nel campo della teoria algebrica dei numeri. Gli esperti lo amano, perch contiene molte considerazioni filosofiche e anche un p di confusione. Che anche negli anni d'oro a Princeton non era tutto oro, lo racconta Halmos nella sua autobiografia, a pag. 143, quando descrive come Weyl dett il libro (la cui versione originale in inglese ed apparve nel 1940) alla sua segretaria: Le dettava il testo insieme con le istruzioni dattilografiche ("due spazi, ..., nuova riga, ..., virgola, ..."), lei prendeva gli appunti in stenografia, e dopo le batteva a macchina; alla fine Weyl stesso inseriva le formule che non si potevano scrivere a macchina. Il libro ne porta le tracce. Nonostante ci, sembra comunque che in America abbiano gi capito negli anni 40 che un professore universitario avrebbe bisogno di una segretaria. M. POHST/H. ZASSENHAUS: Algorithmic algebraic number theory. Cambridge UP 1990. Contiene molto pi teoria di quanto il titolo indurrebbe ad aspettarsi. L'ho guardato troppo poco finora. E' certamente un libro utile, anche se un p pesante. Gli algoritmi sono pochi e vengono spesso dati in forma abbastanza rudimentale. E' un giudizio molto provvisorio. O. ENDLER: Valuation theory. Springer 1972. H. HASSE: Zahlentheorie. Akademie-Verlag. A. WEIL: Basic number theory. Springer 1974. Su Q si possono introdurre metriche non archimedee per ogni primo p; cos Q diventa uno spazio metrico non completo. Il completamento sono i numeri p-adici, che formano un corpo topologico. Il libro di Weil contiene una trattazione sistematica della teoria dei numeri da questo punto di vista astratto. Il libro di Hasse discute con moltissimi dettagli la teoria delle valutazioni e le sue applicazioni nella teoria dei numeri. E. HLAWKA: Selecta. A cura di P. Gruber/W. Schmidt. Springer 1990. Quando ero studente, Edmund Hlawka era il professore pi amato a Vienna. Uno dei maggiori teorici dei numeri viventi, non teneva mai corsi su questo argomento, ma topologia generale, geometria differenziale, analisi funzionale, filosofia della matematica e altre cose. Abbastanza alto e magro, vestiva (e veste tuttoggi) abito marrone, camicia bianca e cravatta, un berretto basco blu e la pipa in bocca per strada. Quando aspettava il tram (all'estero i professori universitari non hanno la macchina) sembrava un attore che interpreta il ruolo di un grande matematico che pensa intensamente. Forse la cosa pi meravigliosa in lui era che ogni frase che diceva, su qualsiasi argomento, sulla vita, sulla matematica, sulla citt, ci sembrava assolutamente vera, non ci veniva mai il minimo dubbio che potesse essere diversamente. Semplicemente non ci veniva in mente.